Реферат тақырыбы: «Қатты дененің айналмалы қозғалысының кинематикасы мен динамикасы»
Қатты дененiң тұрақты осьтi айнала қозғалысы
жүктеу/скачать 305,14 Kb.
|
реферат
| 2.2 Қатты дененiң тұрақты осьтi айнала қозғалысы
Денемен өзгермейтiндей боп бекiтiлген, айналу осi деп аталатын бір ғана түзудiң барлық нүктелерi тыныштық қалпын сақтайтын қозғалысты қатты дененiң сол тұрақты осьтi айнала қозғалысы дейдi. 2.3-сурет 2.4-сурет Берiлген дененiң (2.4-сурет) қозғалмайтын 0А осiнен айнала қозғалысын зерттеу үшiн қозғалмайтын оң координаталар системасын таңдап алалық. Айналу осiн екi нүктеде, мысалы О және А нүктелерiнде, бекiтсек болғаны оның барлық нүктелерi де қозғалмайды. Тұрақты Оζ осiн осы тузудiң бойымен оның оң бағытынан қараған бақылаушы дене айналуын сағат тiлiнiң қозғалысына қарсы бағытта көретiндей етiп бағыттайық. Сонда Оζ осi дененiң айналу осi болады. Жалпы жағдайда Оζ осiнiң айналу осiмен бiрiгiп келуi шарт емес. Тек бұл жағдайда зерттеу жеңiлденедi. Айналу осi арқылы жазықтығын денемен бiрге бекiтейiк. Бастапқы кезеңде (t=0 болғанда) ол жазықтықты деп белгiлейiк және ол Оζ осi арқылы өтетiн болсын дейiк. Кез келген t уақыт өткен соң ол жазықтық денемен бiрге айнала отырып, қалпына келедi. Осы және жазықтықтарының арасындағы екi жақты бұрыш φ қатты дененiң айналу бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш берiлген дененiң кез келген уақыт кезеңіндегi кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтайды, демек, тұрақты осьтi айнала қозғалатын қатты дененің бiр ғана еркiндiк дарежесi болады. Уақыттың функцясы ретiнде берiлген айналу бұрышы φ=φ(t) қатты дененiң айналу заңы немесе айналу теңдеуi деп аталады. Бұл айналушы тұтас қатты дененiң негiзгi кинематикалық характеристикасы болып табылады Дененің бұрыштық жылдамдығы ω (t) = φ (t) бұрыштық үдеуi ε (t) = ω = φ (t) айналмалы қозғалыстың туынды кинематикалық характеристикалары болады. Бұл шамалар тұтас қатты денеге тән. Бұрыштық жылдамдықтың болуы айналу осiмен тығыз байланысты болғандықтан оны айналу осiнің бойында жатқан вектор деп қарауға болады. Оның бағытын және айналу осi бойындағы орнын таңдау бiздің өз еркiмiзде, сондықтан да ол сырғымалы вектор болғаны. Айналу кезiнде қатты дененің барлық нүктелерi жазықтықтары айналу осiне перпендикуляр ал центрлерi айналу осiнде жататын шеңберлер сызады. Нүктенiң шеңбер бойымен қозғалысының кинематикалық характеристикаларын анықтауды бiз жақсы бiлемiз. Айналмалы қозғалыстағы қатты дененің кез келген М нүктесiнің алгебралық жылдамдығы мынадай болады: v = hφ = hω (2.9) яғни дененің бұрыштық жылдамдығы мен нүктенiң айналу осiнен қашықтығының көбейтiндiсiне тең өйткенi берiлген М нүктесi үшiн оның айналу радиусы деп аталатын бұл қашықтық h = | М| =const, яғни дене абсолют қатты дене. Сонымен кез келген уақыт кезеңiндегi дене нүктелерiнің жылдамдықтары олардың айналу радиустарына тура пропорционал. Нүкте жылдамдығының бағыты айналу осi және сол нүкте арқылы өтетiн жазықтыққа перпендикуляр, шеңберiне жанаманың бойымен дененің айналу бағытына қарай бағытталады Олай болса М нүктесiнiң жылдамдқ векторы v дененiң ω бұрыштық жылдамдық векторына және нүктенің r =OМ радиус-векторына перпендикуляр болады, ал (2.9) өрнегiмен анықталатын оның шамасы v = ω r sin α (2.10) Мұнда α бұрышы —ω және r векторларының арасындағы бұрыш, яғни α=(ω, r ). Бұрыштық жылдамдық векторының оң бағытын түрлiше етiп таңдап алу қозғалыстың кинематикалық характеристикаларын өзгертпейдi. Бiрак бiр таңдап алынған бағыт барлық есептеулерде сақталуы қажет. Әдетте бұл бағыт оң винт ережесi бойынша, яғни Оζ осiъмен бағыттас етiлiп алынады. Сонымен бұрыштық жылдамдық векторын айналу осiнiң бойымен кез келген орынға жылжытуға болады. Бұрыштық жылдамдық уақыт етуiмен байланысты тек шамасын ғана өзгертетiн болғандықтан бұрыштық үдеу векторы ε да айналу осiнiң бойында орналасады. Мұны аналитикалық жолмен де дәлелдеуте болады Бұрыштық жылдамдық векторын былай жазайық: ω = ω* (2.11) Айналу осі қозғалмайтын болғандықтан оның бірлік векторы тұрақты, яғни Сондықтан (2.11) теңдігінің екі жағынан да уақыт бойынша туынды аламыз: ε = ε Егер ε > 0 болса, онда айналу үдемелi, яғни ω және ε векторлары бағыттас болғанын, ал ε < 0 болса, айналу кемiмелi болады да, ω және ε векторлары бiр-бiрiне қарама—карсы бағытталады. Жоғарыда М нүктесiнiц жылдамдығының шамасы (2.10) және бағыты туралы айтылғандарды ескерсек, M = ω x r (2.12) екенiн көру қиын емес. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталып, айналмалы қозғалыстары қатты дененiң кез келген нүктесi үшiн орындалады. Денемен бiрге айналатын кез келген Охуz қозғалмалы координаталар системасы осьтерiнiң бiрлiк векторлары үшiн жааылған бұл формула (2.12`) Пуассон формулалары деп аталады. Эйлер формуласын мына түрде басқаша жазсақ: M = MO X ω онда айналмалы қозғалыстағы қатты дененiң кез келген нүктесiнiң жылдамдығы дененiң бұрыштық жылдамдығының сол нүкте арқылы алынған моментiне тең болады. Жалпы жағдайда жылдамдык векторының қозғалмайтын координаталар осьтерiне проекциялары төмендегiдей болады: , , . Қозғалмалы координаталар системасында , , болады. Мұндағы бұрыштық жылдамдық векторының қозғалмайтын,ал p, q, r - қозғалмалы кординаталар осьтеріне проекциялары. Жеке жағдайда Оζ айналу осі болса,онда 0, ω болады да = 0 Бұл тендiктерде ζ = η = 0 десек, онда айналу осiнде жатқан нүктлердiң қозғалмайтынын көремiз. Дене нүктелерiнiң үдеулерiн табу үшiн (2.12) өрнегiнен уақыт бойынша туынды алып, r= ωекiнiн ескерсек, онда М нүктесiнiң үдеуi W = ε X r + ω X r (2.13) боладs. Оң бұрғы ережесi бойынша бұл теңдiктiң оң жағындағы қосылғыштардың бiрiншiсi нүктенiң жылдамдық векторымен бағыттас, екiншiсi М түзуiнің бойымен центріне қарай айналу осiне перпендикуляр бағытталады (сондықтан ол оське тартқыш үдеу делiнедi). Есеп К-2
Есеп шарты. Механизм өзара тiстi немесе қайысты бiрлестiгi 1;2;З ; сатылы дөңгелектерден, 4 тiстi рейкадан және жiптiң шетiне байлап дөңгелектiң бiрiне оралған 5-шi жүктен тұрады. Дөцгелектердiң сатыларының радиусы сәйкесiнше: -ге тең .(r-дөңгелектiң кiшi радиусы , R-дөңгелектiң үлкен радиусы.Сандық индекс дөңгелектiң есеп схемасындағы нөмерiн бiлдiредi). Дөңгелектiң бойында А , В және С нүктелерi орналасқан. Берiлген қозғалыс заңы үшiн көрсетiлген звеноның немесе оның жылдамдығының өзгеру заңын уақыт моментiн анықтау үшiн, шамаларды анықтау керек, осы және шамалардың векторларын есеп схемасында көрсетеміз. φ және ω сағат тiлiнiң жүрiсiне қарсы болса, төмен бағытталса оң деп саналады. Есептi шығару үшiн жалпы әдiс: 1 .Сызық масштабты сақтай отырьш сатылы дөңгелектердi есеп схемасында бейнелеймiз. 2.Берiлген звеноның қозғалыс заңы бойынша оның жылдамдығын, уақыттың функциясы ретiнде анықтаймыз ( ), немесе ол арқылы нүкте жылдамдығын және үдеуiн өрнектеуге болады. 3.Жылдамдықтан уақыт бойынша бiрiншi туындысын алып үдеудi уақытгың функциясы ретiнде анықтаймыз. 4.Берiлген уақытгың мәнiн өрнекке қойып жылдамдықтың және үдеудiң сандық мәндерiн табамыз. 5.Жылдамдық және үдеу үшiн масштаб алып табылған шамалардың векторларын тұрғызамыз. Үдеудiц векторын тұрғызу үшiн оны нормаль және жанама үдеуге бөлу керек. Есептiң шарты: Механизм 1 ;2;3 сатылы дөңгелектен , тiстi рейка 4 және 5 жүктен тұрады. Дөңгелектердiң радиусы сәйкесiнше . Жүктің қозғалыс заңы берiлген =3t-t², t-секундпен t=2с уақыт моментi үшiн анықтау керек . Рейканың қозғалысының оң бағыты - төмен. Қозғалсыс теңдеуінен І ретті туынды алып ІІІ дөңгелектің бұрыштық жылдамдығын анықтаймыз. = = 3-2t [рад/с] (1) 5-ші жүк жіптің көмегімен ІІ дөңгелектің ішкі радиусына оралғандықтан, олардың сызықтық жылдамдығы тең: = [ ] (2) ІІІ дөңгелек І дөңгелекке іліністе болғандықтан олардың сызықтық жылдамдықтары тең: (3) = [ ] (4) = 6(3-2t) [ ] (5) ІІІ дөңгелек І дөңгелекпен тісті байланыста болғандықтан олардың сызықтық жылдамдықтары тең: (6) = (7) V жүк ІІ дөңгелектің ішкі радиусымен тісті байланыста болғандықтан, оның жылдамдығы ІІ дөңгелектің ішкі құрсау жылдамдығына тең, олай болса [ ] (8) , - тең уақыт бойынша бірінші туынды алып анықтаймыз: (9) = (10) В нүктесінің жанама үдеуін табамыз: [ ] (11) В нүктесінің нормаль үдеуін келесі өрнектен анықталады: [ ] (12) Ал осы нүктенің толық үдеуі: [ ] (13) Осы теңдеулерге берілген шамалардың сандық мәнін бір өлшем бірлікте қойып сәйкесінше табатынымыз: = = -120 = = -6 = = 6(3-2t) = = = -3 = (6(3-2t))`=-12 жүктеу/скачать 305,14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|