Реферат Тақырыбы:Үлкен сандар заңы туралы ұғым. Марков пен Чебышев теңсіздіктері

Теңсіздікті бейнелеу

• 
  А = 10 Марковтың теңсіздігі үшін P ( X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Осылайша, X 10-нан жоғары екенін 30% ықтималдығы бар.
  
• 
  А = 30 Марковтың теңсіздігі үшін P ( X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10% дейді. Осылайша X 30-дан жоғары 10% ықтималдығы бар.
  
• 
  А = 3 Марковтың теңсіздігі үшін P ( X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. 1 = 100% ықтималдығы бар оқиғалар анық. Осылайша, бұл кездейсоқ айнымалы мәннің 3-тен үлкен немесе тең екендігін айтады. Бұл таңқаларлық емес. Егер X мәні кем дегенде 3 болса, онда күтілетін мән 3-ден аз болар еді.
  

• 
  Өсудің мәні ретінде E ( X ) / a коэффициенті кішірек және аз болады. Бұл дегеніміз, ықтималдық өте аз, бұл өте үлкен, өте үлкен. Тағы да, 3-ші күтілетін құндылықпен біз өте үлкен мәндермен бөлудің көп бөлігін күтпейміз.
  

Теңсіздікті пайдалану

Егер біз жұмыс істеп жатқан үлестірім туралы көбірек білсек, онда біз әдетте Марковтың теңсіздігін жақсарта аламыз. Оны пайдаланудың мәні - бұл кез келген таратудың неотрицательные мәндері. Мысалы, егер бастауыш мектепте оқушылардың орташа биіктігін білсек. Марковтың теңсіздігі оқушылардың алтыдан біреуінің биіктігі орташа биіктігі алты еседен жоғары болуы мүмкін екенін айтады.
Марковтың теңсіздігінің басқа маңызды пайдалануы - Чебышевтің теңсіздігін дәлелдеу. Бұл факт «Чебышев теңсіздігі» атауына Марковтың теңсіздігіне де қатысты. Теңсіздіктерді атаудың күрделілігі де тарихи жағдайларға байланысты. Андрей Марков Пафнути Чебышевтің оқушысы болды. Чебышевтың жұмысы Марковқа жатқызылған теңсіздікті қамтиды.

Чебышев теңсіздігі.

Кездейсоқ шама Х өзінің математикалық күтімі М(х)-тен ауытқуының абсолют шамасы ε-нан кем болмау ықтималдығы дисперсия D(x)-тің ε-ның квадратына қатынасынан үлкен болмайды, яғни


Мысал-1: Белгілі бір прибор тәуелсіз жұмыс істейтін 10 элементтен тұрады. Т уақыт ішінде әр элементтің жұмыс істемей қалған элементтердің орташа санының М (математикалық күтімі) айырмасының абсолют шамасының:
1) екіден кем болуының;
2) екіден кем болмауының ықтималдықтарын бағалаңыз.
Шешуі:
Есептің шарты бойынша: n=10, р=0,5, q=0,5.
Сондықтан: M(x)=10*0,5=5,
D(x)=5*0,5=2,5.
1.
2.
Сонымен: P(|x - 5| <2) 0,375;
P(|x - 5| 2) 0,625.
Мысал-2 . Кездейсоқ шама Х-тің дисперсиясы D(x)= 0,025; ал ықтималдық мәні 0,9 -дан кем емес, яғни P(|X-M(X)|<ε) 0,9 болғанда, ε-нің мәні неге тең болатынын табыңдар.
Шешуі. (3) теңсіздігінен 1- D(X)/ = 0,9.
Бұдан
Үлкен сандар заңы кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен
санын қоса алғанда кездейсоқ қасиетін жоғалтып,
заңдылыққаайналу шарттарын қарастырады. Осындай теоремаларға Чебышев және Бернулли теоремалары жатады. Алдымен теориялық маңызы зор Чебышев теоремасын қарастырамыз.
Чебышев теоремасы.
Егерде тізбегі тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, олардың дисперсиялары бар болып бір тұрақты С санымен шектелген, яғни , … , болса, онда кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасының олардың математикалық күтімдерінің арифметикалық орташасынан ауытқуының абсалютті шамасы, қандай да бір оң таңбалы аз тұрақты сан ε-нан үлкен болмауын, n мейлінше үлкен болғанда (n ) бірге жуық ықтималдықпен мақұлдаймыз, яғни
=1
Сонымен қатар
=0
өрнегі де орынды. Мұнда
жуық теңсіздік жеткілікті үлкен n-нің барлық мәнінде ε дәлдікпен орындалады.
Сенімділік ықтималдық Р және n,ε арасындағы тәуелділікті
P десек, онда бұл формуланы көптеп қолданатын боламыз.
Чебышев теоремасының мағынасы: егер жеке тәуелсіз
кездейсоқ шамалар өздерінің математикалық күтімдерінен алыс мәндер қабылдай алса, онда ықтималдықтары үлкен жеткілікті үлкен санды кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы белгілі санға жуық мәнді қабылдайды (атап айтқанда ). Чебышев теоремасының практикада маңызы зор. Оған статистикада жиі қолданылатын тандама әдісі негізделген. Ол әдіс бойынша азғана кездейсоқ таңдама негізінде барлық объектілер жиынтығы туралы қорытынды жасалады. Әрине, бұл әдісті теорема шарттары орындалғанда ғана қолдана аламыз.

жүктеу/скачать 45,68 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: