Решение дифференциальных уравнений методом Ренге-Кутта

жүктеу/скачать 184,11 Kb.

Дата	25.12.2021
өлшемі	184,11 Kb.
	#128662

Байланысты:
Рунге-Кутта әдісі

Әдіс Рунге Кутта

Дифференциалдық теңдеулерді шешу Ренге-Кутта әдісі

Әдіс Рунге Кутта

Теңдеудің сандық шешімін табу қажет болсын y '= f (x, y), болған жағдайда у (x0) = y0

Әдістің идеясы - айырмашылықты көрсету

Δy(x) = y (x + сағ) -y (x) (1.1)

Түзетулердің жиынтығы ретінде кj коэффициенттерімен Рj

Δy= б1к1+ б2к2+ ... + бrкr ,

Әдіс Рунге Кутта

қайда к1= f (x, y),

к2= f (x + α2h, y = β21к1), ...,

кr=hf(x + αrh, y = βr1к1+ βr2к2+ ... + βrr-1кr-1).

Мүмкіндіктер Рj , αj , βджи кеңейтулерді салыстыру арқылы табыңыз Δy және кмен дәрежелер бойынша h...

Әдіс Рунге Кутта

Егер r = 4 алу

(1.2)

(1.3)

Әдіс Рунге Кутта

Сағат x = x0 (1.1) - (1.3) формулаларын қолданып табамыз

(1.4)

Әдіс Рунге Кутта

Қайда

(1.5)

(1.6)

Әдіс Рунге Кутта

Мысал. Ренге-Кутта әдісі арқылы теңдеу үшін Коши есебінің шешімін табыңыз y` = yx2, y (1) = 0,

x [12] алғашқы бес ұпайды алып h = 0,1

Шешім. Өйткені бұл мысалда f (x, y) = yx2 , және шартқа байланысты x0 = 1, ж0 = 0,

содан кейін f (x0 , ж0 ) = y0- = 0-1 = -1.

Әдіс Рунге Кутта

(1.6) формулаларды пайдаланып табамыз

(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз

Әдіс Рунге Кутта

Мағынасы ж1 формула бойынша есептеледі ж1 = y0+ Δy0 (1.4) формуланы қараңыз мен= 0).

ж1 = 0 + (- 0,1158) = - 0,1158

Осылайша, шамамен алынған мән

ж1 =-0,1158 сағ x1 = 1.1

Әдіс Рунге Кутта

C үшін (1.6) формулаларды қолдану мен= 1 жуық мәнді табыңыз ж2 сағ x2 = 1.1, сол теңдеу үшін Коши есебін шешу y` = yx2 ,

у (1,1) = - 0,1158...

Әрі қарай табамыз ж3,ж4,ж5...

Әдіс Рунге Кутта

(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз

мен	xмен	жмен				бj
0	1	0	1	-1	-0,1	1
	1.05	-0,05	1.1025	-1,1525	-0,1153	2
	1.05	-0,0576	1.1025	-1,1601	-0,1160	2
	1.1	-0,116	1.21	-1,326	-0,1326	1	-0,695	-0,1158
x1 = x0+ h = 1,1 ж1 = y0+ Δy0 =0 + (- 0,1158) = - 0,1158
1	1.1	-0,1158	1.21	-1,3258	-0,1326	1
	1.15	-0,1821	1.3225	-1,5046	-0,1505	2
	1.15	-0,191	1.3225	-1,5135	-0,1514	2
	1,2	-0,2672	1.44	-1,7072	-0,1707	1	-0,9071	-0,1501
x2 = x0+ 2сағ = 1,2 ж2 = y1+ Δy1 =-0,1158 + (- 0,1501) = - 0,2659

Әдіс Рунге Кутта

(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз

мен	xмен	жмен				бj
2	1,2	-0,2659	1.44	-1,7059	-0,1706	1
	1.25	-0,3512	1,5625	-1,9137	-0,1914	2
	1.25	-0,3616	1,5625	-1,9241	-0,1924	2
	1.3	-0,4583	1.69	-2,1483	-0,2148	1	-1115	-0,1925
x3 = x0+ 3сағ = 1,3 ж3 = y2+ Δy2 = -0,2659+ (- 0,1925) = - 0,4584
3	1.3	-0,4584	1.69	-2,1484	-0,2148	1
	1.35	-0,5858	1,8225	-2,3883	-0,238сегіз	2
	1.35	-0,5778	1,8225	-2,4003	-0,2400	2
	1.4	-0,6984	1.96	-2,6584	-0,2658	1	-1,4382	-0,2397
x4 = x0+ 4сағ = 1,4 ж4 = y3+ Δy3 =-0,4584 + (- 0,2397) = - 0,6981

Әдіс Рунге Кутта

(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз

мен	xмен	жмен				бj
4	1.4	-0,6981	1.96	-2,6581	-0,2658	1
	1.45	-0,831	2.1025	-2,9335	-0,2934	2
	1.45	-0,8448	2.1025	-2,9473	-0,2947	2
	1.5	-0,9928	2.25	-3,2428	-0,3243	1	-1,7663	-0,2944
x5 = x0+ 5сағ = 1,5 ж5 = y4+ Δy4 = -0,6981+ (- 0,2944) = - 0,9925

Әдіс Рунге Кутта

Жаттығу: Рунге-Кутта әдісі бойынша, қабылдау h = 0,1, шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің жуық шешімдерін табыңыз:

1.

2.

3.

4.

5.

жүктеу/скачать 184,11 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: