Сабақ тақырыбы Дифференциалдық теңдеулердің Рунге-Кутта схемасы

• 
  Қарапайым дифференцилдық теңдеулерді шешудің көпқадамды сандық әдістерімен есептер шығаруды үйрену
  

Ширату жаттығуы: «Сәлемдесу»

Бұл әдіс те бірқадамды әдіске жатады.

(2)

(1)-теңдеу екі өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) және (2)-бастапқы шарт берілсін. [x₀, x_n] аралығында у-тің мәндерін анықтап, функция графигін сызу керек болсын.

нүктелерінде мәндерін Рунге-Кутта формуласымен табамыз:

Мұндағы К аралық сандары төмендегідей табылады:

1. 
   Адамс әдісі
   
2. 
   Милн әдісі
   

(6.11)

(6.12)

(6.11)-теңдеу екі өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) және (6.12)-бастапқы шарт берілсін. [x₀, x_n] аралығында у-тің мәндерін анықтап, функция графигін сызу керек болсын. Бұл есепті шешудің көпқадамды әдістері: Адамс және Милн әдістері деп аталады.

Адамс әдісінің идеясы бірқадамды әдіспен табылған мәндер кесте сын толықтыру немесе жалғастыру. Сондықтан есептеің берілгенінде бастапқы шартпен бірге бірнеше нүктедегі функция мәндері табылған болады.

Бастапқы шартты пайдаланып, функция өсімшесінің мәндерін анықтаймыз, оларды q_i (i=0,1,2,3) деп белгілейік:

Енді осы мәндердің шектік айырымдарын табамыз:

Енді функцияның мәндерін есептеу үшін Адамс формуласын қолданамыз. Ол екі түрлі:

Бұл формуламен табылған мәндерін алдын ала анықталған функция мәндері деп атаймыз және , деп белгілейміз. (6.13)-формуламен табылған мәндерді тереңірек анықтау үшін интерполяциялық формуланы қолданамыз.

Бұл формуламен табылған мәндерін жөнделген немесе түзетілген функция мәндері деп атаймыз және , деп белгілейміз. Сосын (6.13) және (6.14)-формулалармен алынған мәндерді бір бірімен салыстырамыз. Егер төмендегі шарт орындалса:

Практикада есептеуді жеілдету үшін Адамстың басқа формулалары да қолданылады:

1-формуласы: ), (6.15)

2-формуласы: ), (6.16)

Адамс әдісі дифференциалдық теңдеулер жүйесіне де қолданылады:



жүйесі берілсе, оған қолданылатын Адамс формулалары төмендегідей болады:

(6.17)

(6.18)

Мұндағы: ,

Бұл әдіс те Адамс әдісі сияқты мәндер кесте сын жалғастыруға мүмкіндік береді. Теңдеу, бастапқы шарт, және қандай да бір әдіспен табылған функцияның бірнеше мәндері берілсін. Функцияның қалған мәндерін анықтау керек.

(6.19)

(6.20)

1. 
   Алдын ала анықтау: ,
   
2. 
   Осы мәндерді қолданып
   
3. 
   Милннің 2-ші формуласымен алдында табылған мәндерді түзетеміз немесе дәлдейміз: .
   
4. 
   Табылған мәндердің қателігін бағалаймыз: . Бұл формула есептеудің әр қадамында алынған мәннің дәлдігін тексеріп отырады. Егер дәлдік берілсе және болса, онда деп алып y_i+1-лерді есептеуге болады, кері жағдайда қадамды кішірейту керек.
   
5. 
   Милн әдісін жүйені шешуге де қолдануға болады. Егер жоғарғы ретті теңдеу берілсе оны 1-ші ретті теңдеуге келтіру керек.
   

Адамс әдісін қолданып теңдеуін шешу. Бастапқы шарты y(0)=-1

Шешімі:

(6.15)-(6.16)-формулаларды қолданып есептейік. Рунге-Кутта әдісімен алдын ала бірнеше мәндер табылған болсын.

X₁=0.1 y₁=-0.97528

X₂=0.2 y₂=-0.94978

X₃=0.3 y₃=-0.92154

Есептеу қадамдарын 18-кестеге жазуға болады.

Кестені толтыру ережесіне тоқталайық:

1,2- бағандарға белгілі мәндерді толтырамыз. 3-бағанда у_k-дің (k=0,1,2,3)

белгілі мәндерін толтырамыз. Осы мәндерді қолданып,

18-кесте . теңдеуін шешудің алгоритмі.

1. 
   Адамс әдісін қолданып 10^-2 дәрежесіне дейінгі дәлдікпен төмендегі қарапайым дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен есептеу.
   

b) , y(0)=1, табу керек y(1)

c) , y(0)=1, табу керек y(0.5)

d) y(0)=2, z(0)=-2, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

e) y(0)=2, z(0)=-1, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

2. Адамс әдісін қолданып берілген аралықта 10^-4 дәлдікпен төмендегі ҚДТ –ді шешу. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен анықтау.

a) , y(0)=1, a=0, b=1

b) , y(0)=1, a=0, b=1

c) , y(1)=0, a=1, b=2

3. Адамс әдісін қолданып бастапқы шарты х(0)=0 болғанда төмендегі теңдеулердің шешімдердің мәндер кесте сын екі қадамға жалғастыру. һ=0,1 болсын. Бастапқы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен анықтау.

a) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

b) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

c) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

d) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

e) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

f) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

g) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

4. Милн әдісін қолданып 10^-4 дәлдікке дейін төмендегі теңдеулерді шешу. Бастапқы мәндерді бірқадамды әдістердің біреуімен анықтау.

a) , y(1)=1, a=1, b=2,

b) , y(0)=1, a=0, b=1,

5. Адамс әдісін қолданып дифференциалдық теңдеудің бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімдерін аралығында қадаммен анықтау. Есептеуді төрт ондық таңбамен жүргізу. Бастапқы аралықтағы мәндерді Рунге-Кутта әдісімен анықтау.

1. Төмендегі қарапайым дифференциалдық теңдеулерді [0.2; 1.2] аралығында 0.1 қадаммен у(0.2)=0.25 бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімін Эйлер және Эйлер-Коши әдістерімен тауып, қателіктерін бағалау. Есептеуді үтірден кейін 4 орынмен жүргізу.

g) y(0)=2, z(0)=-2, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

i) y(0)=2, z(0)=-1, x=0.5 болғандағы y,z-тің мәндерін табу керек

3. Рунге-Кутта әдісін қолданып бастапқы шарты х(0)=0 болғанда төмендегі теңдеулердің шешімдерін анықтау. һ=0,1 болсын.

a) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

b) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

c) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.4k, k=0,1,2,3,4,5

d) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5

e) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5, b=1+0.8k, k=0,1,2

f) , a=1+0.4n, n=0,1,…, 5