Решение и критерии оценки Задача 1

Юниорская Олимпиада по математике 
Решение и критерии оценки 
Задача 1 
Учительница выписывает на доску последовательность цифр по следующему правилу: если последняя и 
предпоследняя выписанные цифры были равны 
и 
, то на доску учительница записывает последнюю 
цифру числа 
. Например, если изначально на доске были бы записаны цифры 1 и 8, то 
последовательность была бы продолжена как 
.
Известно, что изначально на доске были записаны цифры 3 и 4. Какая цифра будет записана 2019-ой? 
Решение: 
Давайте выпишем несколько первых членов последовательности: 
Итак, у нас повторился фрагмент 4; 2. Поэтому с этого момента последовательность цифр, 
записываемых учительницей, станет периодичной. Поэтому она примет следующий вид: 
 
Получается, что длина периода равна 6, а начинается он со второй цифры. Заметим, что 2018 = 336*6 + 
2. Поэтому, 2019-ой цифрой станет именно вторая цифра периода: то есть двойка. 
Критерии оценки: 
1)
Найдена длина периода – 2 балла; 
2)
В решение присутствует арифметическая ошибка, не влияющая на дальнейшие логические 
рассуждения – снимается 1 балл; 
3)
Не замечено, что период начинается со второго элемента – снимается 2 балла; 
Задача 2 
Решите уравнение
Решение 1: 
Перенесем все в одну сторону и немного преобразуем наше уравнение. 
(
) (
) ( 
)
( )
( )
( )
( )
Поскольку сумма трех квадратов равно 0 тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен 0, 
получаем, что 
( )
Но тогда 
. А если 
, то 
. С другой стороны, если 
, то 
. 
Противоречие.

Значит, уравнение решений не имеет. 
Решение 2: 
Заметим, что если 
( ] )
, то 
. Но тогда
( )
То есть левая часть строго больше правой, а потому равны они быть не могут. 
Если же 
( )
, то получаем, что 
. То есть правая часть исходного 
уравнения отрицательная, в то время как в левой части у нас сумма нескольких квадратов. То есть левая