Решение. Итак, нам нужно найти log 60 27. Несложно заметить, что 27=3 3



Дата23.11.2022
өлшемі80,92 Kb.
#159536
түріРешение
Байланысты:
Вычислите логарифм
СЕРТИФИКАТ-ПШДО-ЖАС-МАМАН (2), СЕРТИФИКАТ-ПШДО-ЖАС-МАМАН, СЕРТИФИКАТ-ПШДО-ЖАС-МАМАН (2), 9СОЧ2 для учителя

Вычислите логарифм 27 по основанию 60, если известно, что log602=a и log605=b.


Решение.
Итак, нам нужно найти log6027. Несложно заметить, что 27=33, и исходный логарифм в силу свойства логарифма степени можно переписать как 3·log603.
Теперь посмотрим, как log603 выразить через известные логарифмы. Свойство логарифма числа, равного основанию, позволяет записать равенство log6060=1. С другой стороны log6060=log60(22·3·5)=log6022+log603+log605=2·log602+log603+log605. Таким образом, 2·log602+log603+log605=1. Следовательно, log603=1−2·log602−log605=1−2·a−b.
Наконец, вычисляем исходный логарифм: log6027=3·log603=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Ответ:
Велосипедист проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Проверим решение:
Первый способ
Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х - 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х - 10) – 40/х = 1/3.
Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х2 – 10х,
х2 – 10х – 1200 = 0,
D=100+4800=4900,
= =-30,  = =40.
= - 30 - условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста –
40 км/ч.
Ответ: 40 км/ч.
Второй способ
Пусть х ч – время, затраченное велосипедистом на путь от А до В, тогда его скорость 40/х км/ч. Время, затраченное на обратный путь (х + 1/3) ч, а скорость – 40/(х + 1/3) км/ч. По условию задачи известно, что обратно велосипедист ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной. Получаем уравнение: 40/х - 40/(х + 1/3) = 10.
Если х ≠ 0 и х ≠ 1/3, то 40(х + 1/3) – 40х = 10х(х + 1/3),
+ х – 4 = 0,
D=1+48=49,
= =- , = =1.
= - 4/3 –условию задачи не удовлетворяет. Значит, на путь от А до В был затрачен 1 час и первоначальная скорость велосипедиста 40 км/ч.
Ответ: 40 км/ч.
6. Подведение итогов урока.
- Какие задачи решали на уроке?
- Что нового вы узнали на уроке?
- Какие затруднения у вас возникли?
Расскажите этапы решения задачи с помощью уравнения.
Отметить наиболее активных учеников. Выставить оценки.
7. Задание на дом. №565,№574, на повторение №578. Подготовить выступление трем учащимся на тему «История квадратных уравнений в Индии», «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне», «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв».
И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».
Поблагодарить учащихся за плодотворный урок.
Урок № 3
Тема урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Цель урока:
- закреплять навыки решения задач с помощью квадратных уравнений;
- развивать логическое мышление учащихся.
Задачи урока: Проверить насколько дети научились составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма её решения.
Тип урока: Урок закрепления нового материала. (В форме беседы)
Формы работы учащихся на уроке: Индивидуальная, коллективная.
Описание необходимого технического оборудования для проведения урока: Компьютер учителя, интерактивная доска.
Структура и ход проведения урока:
1.Сообщение темы и цели урока.
2. Путешествие в историю квадратных уравнений.
3.Творческое задание на дом.
4.Подведение итогов.
Ход урока:
1.Сообщение темы и цели урока.
Здравствуйте, ребята! Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Сегодня на уроке мы с вами отправимся в путешествие, в мир квадратных уравнений. Закрепим навыки решения квадратных уравнений и углубим знания, путем рассмотрения различных нестандартных задач.
2.Путешествие в историю квадратных уравнений.
К доске выходит ученик с сообщением «Квадратные уравнения в Индии»:
А знаете ли вы, что первое упоминание о задачах на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой форме: ах2 + bх = с, а > 0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Давайте решим одну из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам...
Стали прыгать, повисая...
Сколько ж было обезьянок,
Вы скажите, в этой стае?
Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски.
Решение: Нам необходимо узнать сколь было всего обезьян? Значит, х обозначим количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян - это будет  х, да еще в квадрате  . К этому количеству добавим еще, 12 обезьян, которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение:  +12=х.
Решим это уравнение:
+12=х,
-х+12=0,
D=1-4× = 0,25;
= =16, = =48.
=16, =48.
Два корня удовлетворяют условию задачи. Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян.
Ответ: 16 или 48 обезьян.
Учитель предлагает решить еще одну старинную задачу.
Задача: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?
К доске приглашается ученик. Рассуждения над задачей ведется всем классом.
Решение: В задаче надо найти, сколько было всего обезьян? Неизвестную величину обозначим х, тогда пятая часть от всего количества обезьян будет равна  х. Это количество обезьян уменьшаем на 3, возводим в квадрат и добавляем 1 обезьяну. Получаем уравнение:  +1=3.
Решим это уравнение:
+1=3,
х+9+1=х,
,
D= 3025-1000=2025,
= =5,  = =50.
Находим корни квадратного уравнения:  =5 – не подходит, т.к. если подставить значение 5 в исходное уравнение, то получим  х-3=-2, -2 меньше нуля. Значит, условию задачи удовлетворяет второй корень  =50.
Ответ: 50 обезьян.
Выходит следующий ученик с выступление «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне». Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных квадратных уравнений, и полные квадратные уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. В Древнем Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру. Давайте мы побудим людьми Древнего Вавилона и решим пару задач.
Задача №1
Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 .
Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 Составим и решим уравнение:
х(х+4)=60,
+4х-60=0,
D=16+4×60=16+240=256,
= =6, = =-10.
Корень равный -10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом. Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м.
Ответ: 6м, 10 м.
Задача №2
Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна
210
Решение: Пусть х м ширина прямоугольника, тогда у м длина прямоугольника. По условию периметр прямоугольника равен 62 м. Вспомним, формулу периметра прямоугольника получим: (х+у)×2=62. По условию знаем, что площадь прямоугольника равна 210 . Получаем х×у=210. Получаем два уравнения:
(х+у)×2=62, (1)
х×у=210. (2)
В уравнении (1) разделим обе части на 2.
х+у=31,
Выразим переменную х через у.
х=31-у,
Подставим во второе уравнение.
(31-у)×у=210,
Раскроем скобки.
31у- =210,
Приведем к виду квадратного уравнения.
- +31у-210=0, умножим на -1.
-31у+210=0,
D=961-840=121.
=21, =10.
Корни подходят по условию задачи. Значит 21 м ширина прямоугольника, а 10 м его длина.
Ответ: 21м, 10м.
Небольшая разминка. Решите устно следующие уравнения. Задание на интерактивной доске.
=9,
(Ответ: -3; 3)
2) 3 =300,
(Ответ: -10; 10)
3) 2 -8=0,
(Ответ: -2; 2)
-3x=0,
(Ответ: 0; 3)
+6x+9=0,
(Ответ: -3)
-10x+25=0,
(Ответ:5)
+16x+63=0,
(Ответ: -9, -7)
-3x+2=0.
(Ответ: 2, 1).
К доске выходит следующий ученик с сообщением на тему «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв».
Формы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были в первые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраический примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введениям отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники XVI – XVII вв. и частично XVIII в. Общее правило решений квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:
+ bx=c
при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b,c, было сформировано в Европе в 1544г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVIIв. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVIIв. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
У доски решаем следующие задачи.
Задача №1
Изготовить прямоугольник, если известно, что одна из сторон на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.
Решение: Пусть х см наименьшая из сторон прямоугольника, тогда наибольшая сторона равна (х+14) см. Проводя диагональ, мы делим прямоугольник на два треугольника. Диагональ в прямоугольном треугольнике играет роль гипотенузы. Для правильного составления уравнения мы должны вспомнить теорему Пифагора, и свойство противоположных сторон прямоугольника. Получаем уравнение:  + =
Решаем уравнение, раскрыв скобки:
+ +28х+196=1156,
2 +28х+196-1156=0,
2 +28х-960=0, сократим квадратное уравнение на 2
+14х-480=0,
D=196+1920=2116,
= =16,  = =-30 не подходит.
=16 см – наименьшая из сторон прямоугольника.
х+14=16+14=30,
=30 см – наибольшая из сторон прямоугольника.
Ответ: 16 см и 30 см.
Задача №2
Изготовить прямоугольный треугольник, если один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы.
Решение: Пусть х см гипотенуза прямоугольного треугольника, тогда (х-3)см один из катетов, а другой (х-6)см. Вспомним теорему Пифагора! Квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов. Получаем уравнение:  + = .
Решим уравнение, раскрыв скобки:
-6х+9+ -12х+36- =0,
-18х+45=0,
D=324-4×45=144,
= =15,  = =3.
=15,  =3 – второй корень условию задачи не удовлетворяет.
15см – гипотенуза прямоугольного треугольника.
15-3=12 см – один катет прямоугольного треугольника.
15-6=9 см – второй катет прямоугольного треугольника.
Ответ: катеты 12 см и 9 см, гипотенуза 15 см.
Задача №3
Произведение двух последовательных целых чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.
Решение: Пусть одно из чисел мы обозначим х, следовательно, последующее число на 1 больше – (х+1). Произведение двух чисел равно – х(х+1), а сумма – (х+х+1). По условию задачи произведение этих чисел больше их суммы на 109. Получаем уравнение: х(х+1)-(х+х+1)=109.
Раскроем скобки:  +х-х-х-1=109,
-х-1=109,
-х-110=0,
D=1+440=441,
= =11, = =-10.
Если 11 одно из целых чисел, то последующее 11+1=12.
Если -10 одно из целых чисел, то последующее -10+1=-9.
Ответ: -10 и -9, 11 и 12.
3.Творческое задание на дом.
Ученикам предлагается самостоятельно придумать три задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений.
4. Подведение итогов.
1. Поблагодарить учеников подготовивших сообщения. ( Выставить оценки)
2. Отметить наиболее активных участников урока. Поставить отметку тем, кто самостоятельно составил уравнения.
3. Попросить учащихся самостоятельно себя оценить, продолжив предложения
а) Сегодня на уроке я …
б) Сегодня на уроке я смог (или не смог) самостоятельно составить к задаче …… и его решить.
Сделать вывод! Поблагодарить за интересный урок!
Приложение
Урок №1
Карточка №1
1 Вариант
1. Уравнение вида  , где a, b, c - заданные числа, a 0, x - переменная,
называется...
2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...
3. Уравнение вида  называется...
4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ...
5. Дано уравнение  . D =...
Карточка №2
2 Вариант
1. Если  квадратное уравнение, то a... коэффициентс...
2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...
3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если  ...
4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a  0, c  0, называют ... квадратным
уравнением.
5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...
Урок №2
Карточка № 1.
1.Запиши общий вид квадратного уравнения.
2.Запиши формулу корней квадратного уравнения.
3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения х2 – 4х – 3 = 0? 
4.Реши уравнения: а) 3х2 + 2 х – 1 = 0; б) 2х 2+ 7х – 4 = 0; в) х2 – 7х +12 = 0.
Карточка № 2
1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.
2.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0? D < 0? D = 0?
3. Реши уравнения: а) 5х2 + 8х – 4 = 0; б) х2 – 6х + 11 = 0; в) 7х2 + 6х – 1 = 0
Карточка №1
Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа.
Карточка № 2
Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа.
Log 3+1 (4+2√2)

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет