Республикасының
жүктеу/скачать 326,84 Kb.
|
is 4
- Бұл бет үшін навигация:
- Аналитикалы-жуықтау әдісі
| Мысал 8.2. Қуалау әдісімен
теңдеуінің ( ) ( ) шекті шарттарды қанағаттандыратын жуықталған шешуін табу керек. Шешуі. деп алып теңдеу мен шекті шарттарды соңғы айырма теңдеулер жүйесіне алмастырамыз. ( ) Ұқсас мүшелерді келтірген соң аламыз: Осылайша, екенін ескеріп, аламыз: ( ) (8.12) формуласын ескеріп, 8.1 кесте
Тура жол. 8.1-кестеге сандарды жазамыз және мәндерін есептейміз. Содан кейін (8.11) формуласы бойынша табамыз: Алынған сандарды кестеге жазамыз және әрі қарай есептеуге кірісеміз. Кері жол. екені белгілі, (8.9) формуласын қолданып басқа
және т.б. мәндерінің сызбасын 8.1-суретінде көрсетеміз. сурет - y мәндерінің x-ке тәуелділігі Аналитикалы-жуықтау әдісіБұл параграфта біз қарапайым дифференциал теңдеулер үшін аналитикалық түрде шекті есептің жуықталған шешуін алуға мүмкіндік беретін шекті есептерді шешудің вариациялық әдісін қарастырамыз. Бұл әдістің бұлай аталу себебі, оларды алғашқы қолдану қандайда бір вариациялық есептің дифференциалдық теңдеулерге арналған шекті есепті алмастыруымен байланысты. (8.1)-(8.3) шекті есебін шешу үшін [ ] бөлігінде (8.2)-(8.3) шекті шарттарды, яғни , 2 рет үздіксіз дифференцияланатын функцияның . қандай да бір сызықты тәуелсіз жүйесін береміз, ал қалған функциялар біртекті шекті шарттарды қанағаттандырады, яғни
(8.2)-(8.3) берілген шекті шарттарды қанағаттандырады. Шыныменде,
байланыссыздық деп аталады. Үйлесімі жоқ (8.16)-дағы байланыссыздық параметрлеріне сызықты тәуелді болады және (8.1)-(8.3) шекті есебінің u(x) белгісіз шешуінен (8.14) функциясының тайқуы болып табылады. Байланыссыздық нөлге жақындаған сайын, функция шекті есептің шешуімен сәйкес келеді, сондықтан да параметрлерін байланыссыздық неғұрлым аз болатындай етіп сайлап алуға тырысады. Таңдап алынған кезінде (8.14) функциясын (8.1)-(8.3) шекті есебінің жуықталған шешуі ретінде қабылдайды. (8.1)- (8.3) шекті есебінің жуықталған шешуін базистік функцияның сызықты комбинациясы түрінде іздейміз: ∑ ( ) ( ) мұндағы [ ] бөлікте анықталатын базистік функциялар ( ) (i =1,2,..,n) мен қосымша функция 2 рет дифференцияланатын және жұптасқан сызықты тәуелсіз болуы керек. Сондай-ақ, функция берілген шекті (8.2), (8.3) шарттарды қанағаттандыруы керек, ал ( ) функциялар =1,2,..,n болғанда — сәйкес келетін біртекті шекті шарттарды қанағаттандыруы керек, яғни мына теңдіктер орындалуы керек:
Олай болса, (8.17) теңдеуімен анықталатын ( ) функция коэффициенттерінің кез-келген мәндерінде (8.2), (8.3) шекті шарттарды кепілді қанағаттандырады. Шыныменде, мысалы, x=a нүктесінде аламыз: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ [ ( ) ( )] Дәл осылай x=b болғанда (8.3), (8.17) және (8.18) көмегімен теңдіктің дұрыстығы тексеріледі:
(8.1) - (8.3) шекті есебін сәтті шешу базисті функцияны ( ) таңдауға, (8.17) жуықталған шешуді ұсынуға өте байланысты. Нақты есептерде мұндай функцияларды таңдау, мүмкіндігінше, шешім туралы априорлық немесе эмпирикалық мәліметтеріне сүйенуі керек. Олай болмаған жағдайда, яғни (8.1) - (8.3) шекті есептер үшін қарастырылып отырған абстракт жағдайда, мысалы, келесі базисті функциялар жиынын ұсынуға болады: ретінде сызықты функцияны аламыз: ( ) мұндағы коэффициенттерді функция (8.2),(8.3) біртекті шекті шарттарды қанағаттандыратындай етіп сайлап аламыз, яғни сызықты алгебралық жүйеден: { ( ) ( ) ( ) функциялары болғанда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) бірпараметрлік түрде алуға болады. Егер (8.2)-де , немесе ( ) ( ) ( ) ( ) негізгі жалпы жағдай түрінде жазуға болады. Көрініп тұрғандай, кез-келген бұл функциялар (8.18) теңдеулерінің біреуін қанағаттандырады, егер (8.21) теңдеуінде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) деп белгілеп, және (8.22) теңдеуінде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) деп алсақ, онда олар бұл теңдеулердегі екіншісіне де бағынатын болады. Демек, коллокация әдісімен (немесе қандайда бір басқа әдіспен) табылған коэффициенттерде, (8.17) арқылы анықталған u функциясы, шекті шарттарды қанағаттандырады және берілген (8.1)-(8.3) шекті есептің жуықталған шешуі болады. базисті функцияны жәй ғана таңдау мәселесі (8.1)-(8.3) есебінде біртекті бірінші ретті шекті шарттар орын алғанда анағұрлым жеңілдейді, яғни мынадай болғанда: ( ) ( ) ( ) Бұл жағдайда (8.17) теңдеуіне функциясы керек жоқ, ал ( ) орнында, мысалы: ( ) ( ) ( ) немесе ( ) ( ) болады. Осы жағдайға, яғни (8.25) шарттарына біртекті емес бірінші ретті шекті шарттардың жалпылама жағдайын әкелуге болады: ( ) ( ) ( ) Осы мақсатта сызықты ауысу (сызықтық ығысу) жасалса жеткілікті. ( ) Бұл у функциясын 2 рет дифференциалдап және нәтижелерді (8.1) теңдеуіне қойып, (8.1), (8.26) есебінен жаңа айнымалыға қатысты біртекті шекті шарты бар шекті есепке келеміз: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Коллокациялар әдісі. (8.1) сызықты дифференциал теңдеулерді коллокация әдісімен шешуді қарастырамыз. Қандай да бір сызықты тәуелсіз ( ) ( ) ( ) функциялардың базисті жүйесін таңдаймыз. Бұл орайда ( ) біртекті емес, ал қалған функциялар ( ) φi(x) (8.2)-(8.3) біртекті шекті шарттарды қанағаттандырады. (8.1) - (8.3) шекті есебінің жуықталған шешуін (8.17) базисті функциялардың сызықты комбинациясы түрінде іздейміз. Мұндай u функция кез-келген кезінде шекті шарттарды қанағаттандырады. (8.17) формуласын (8.1) теңдеуіне қойып, u функциясы (8.1) теңдеуінің нақты шешуі болмағандықтан, қандай да бір нөлге тең емес ( ) қалдық мүшені аламыз. Егер коэффициенттерді таңдауда барлық [ ] ] үшін ( ) шарты орындалса, онда u(x) функциясы (8.1) теңдеуінің нақты шешімі болады. Алайда коэффициенттерді бұлай сайлап алу іс жүзінде мүмкін емес. Сондықтан [a,b] бөлігінде – коллокациялар нүктесінде берілген көпшілік нүктелерде байланыссыздықтың нөлге тең болу шартымен шектеледі. Бұл нүктелерде (8.1) дифференциал теңдеуі қанағаттандырылады. Солнымен, белгісіздеріне қатысты алгебралық теңдеулер жүйесі алынады: ( ) ( ) ( ) Неғұрлым толығырақ мына түрде жазылады: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Егер жүйе нақты шешілетін болса, одан табылған коэффициенттер (8.17)-ге қойылады. Коллокациялардың нүктелер саны базисті функциялар санымен келісілуі керек. Базисті функциялар көбірек қолданылса, сәйкесінше, коллокациялар нүктелері, соғұрлым жуықталған шешім дәлірек болады. Әдіс алгоритмі келесідей: ( ) базисті функцияларды жазу. Базисті функциялардың нөлдік шекті шарттарының орындалуын тексеру. Шекті есептердің жуықталған-аналитикалық шешуін ( ) ∑ ( ) түрінде жазу. Дифференциал теңдеулерге (ДТ) туындыларды ( ) шешуін дифференциалдап жазу. 3,4 бөлімдерінде алынған нәтижелерді ДТ-ге қою. 5-бөлімдегі ДТ сол және оң бөліктерінің айырмасы ретінде ( ) байланыссыздық функциясын жазу. Шекті нүктемен шектелген интервал ішінде n коллокациялар нүктесін (базисті функциялар саны бойынша) таңдап алу. Коллокация нүктелерінде байланыссыздық функцияның нөлге тең шартын жазу – белгісіз тұрақтыларға қатысты алгебралық теңдеулер жүйесінің нәтижесі. тұрақтыларды есептеу. Шекті есептің соңғы жуықталған-аналитикалық шешуін жазу. Коллокация нүктелерінде ( ) функциясының мәнін есептеу. Мысал 8.3. [ ] бөлігінде ( ) ( ) ( ) болғанда шекті есебін коллокациялар әдісімен шешу. Шешуі. (8.19) түрдегі функцияның коэффициенттеріне қатысты (8.20) жүйесін құрып, берілген шекті шарттарды қанағаттандыратын ( ) сызықты функцияны табамыз: { (8.21) түрдегі бір базисті ( ) функциямен шектеліп, -ді (8.21)-ге қойғанда базисті ( ) ( ) ( ) функцияны беретін коэффициентті есептейміз: ( ) ( ) ( ) Коллокация түйіні ретінде қарастырылып отырған аралықтың - нүктенің ортасын аламыз және ( ) ( ) функциясы осы нүктеде белілген дифференциал теңдеуді қанағаттандыруын шарт қыламыз. Оған қойып,
Осылайша, бір түйінді ең қарапайым коллокация берілген квадратты функциялы шекті есептің жуықталған шешуіне алып келеді: ( ) (( ) ( )) жүктеу/скачать 326,84 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|