Республикасының

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

бет	21/21
Дата	29.01.2022
өлшемі	326,84 Kb.
	#115787

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Байланысты:
is 4

Мысал 8.5.
Мысал 8.6.

Мысал 8.4. ^[ ^]бөлігінде ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ болғанда

шекті есепті коллокациялар әдісімен шешу керек.
Шешуі. Базисті функция ретінде ⁽ ⁾ ⁽ ⁾поли-

номдарын аламыз. ⁽ ⁾функциясы біртекті емес ⁽ ⁾ шекті шарттарды, ал ⁽ ⁾ функциялары - ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ біртекті шекті шарттарды қанағаттандырады. Коллокациялар нүктелерін

⁄ ⁄деп аламыз. 3 базисті функциялармен шектелеміз және
теңдеудің жуықталған шешуін мынаған тең деп аламыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁄ ⁄коллокациялар нүктелерін байланыссыздық

теңдеуіне қойып, , коэффициенттерін анықтауға арналған теңдеулер жүйесін аламыз:

Осыдан табамыз: және жуықталған шешуі мына түрде болады:

Аз өлшеулер әдісі.

(8.1) сызықты дифференциал теңдеуінің шешуін аз өлшемдер әдісімен қарастырайық. ( ) ( ) ( ) сызықты тәуелсіз функциялардың қандай да бір базисті жүйені таңдаймыз. Бұл ретте ( ) біртекті емес, ал басқа ⁽ ⁾ φi(x) функциялар (8.2)-(8.3) біртекті шекті шарттарды қанағаттандырады. Жуықталған шешімі мына түрде ізделінеді:
⁽ ⁾ ⁽ ⁾

u функциясын (8.1) дифференциал теңдеуіне қойып, [a,b] бөлігінде абсолют мәні минимал болуы керек байланыссыздықты аламыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾,

Байланыссыздықтың квадратынан алынған интегралдың мәні минимал болған кезде бұл шарт орындалады:

∫⁽⁾^.

S интеграл минимумын алу үшін S дербес туындыларды

коэффициенттері бойынша нөлге теңестіру керек, яғни

∫

∫

( )

∫

Нәтижесінде -ге қатысты сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі шығады және осы теңдеулермен олардың мәндері анықталады.

Мысал 8.5. ^[ ^]бөлігінде ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ болғанда коллокациялар

әдісімен шекті есебін шығару керек.

Шешуі. Базисті функцияларды ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽

⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾түрінде таңдап, есептің шешуін мына түрде іздейміз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Бұл жағдайда байланыссыздық квадратынан интеграл төмендегідей түрде болады:

∫ ⁽ ⁾

∫^[ ⁽ ⁾ ⁽ ^)]

S интеграл минимумын алу үшін S дербес туындыларды ...

коэффициенттері бойынша нөлге теңестіру керек, яғни

∫⁽ ^)[

⁽ ⁾

⁽ ^)]

∫⁽ ^)[ ⁽ ⁾
⁽ ^)]

Интегралдаған соң, мына теңдеуді аламыз:

Осыдан табамыз: және жуықталған шешімі мына түрде болады:

Галеркин әдісі.

Галеркин әдісінің алгоритмі де⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾сызықты тәуелсіз функциялардың базисті жүйесін таңдауға негізделген. Бұл жердегі( ) біртекті емес, ал басқа( ) функциялар біртекті шекті шарттарды қанағаттандырады.

Осы базисті жүйенің негізінде есептің жуықталған шешуі олардың сызықты комбинациясы түрінде құрылады.

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Әдіс негізіне( )( )( ) базистік функциялардың (8.16) байланыссыздығына ортогонал болу шарты жатады, яғни

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( )

Нәтижесінде коэффициенттері үшін келесі сызықты алгебралық жүйені аламыз. Бұл жүйені шеше отырып, коэффициенттері мен u есебінің жуықталған шешуін табамыз.

Мысал 8.6. ^[ ^]бөлігінде ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ болғанда

шекті есебін Галеркин әдісімен шешу керек.

Шешуі. Базисті функциялар ретінде ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

полиномдарын таңдаймыз. ⁽ ⁾функциясы ⁽ ⁾ біртекті емес, ал

⁽ ⁾ ы – біртекті ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ шекті шарттарды қанағаттандырады. 3 базисті функциялармен шектелеміз және теңдеудің жуықталған шешуін мынаған тең деп аламыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Нәтижесінде ( ) байланыссыздығы мынаған тең болады:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Базисті функцияларға байланыссыздықтың ортогонал болу шартынан

, i = 1, 2 коэффициенттері үшін сызықты екі теңдеулер жүйесін аламыз:

∫⁽ ⁾ ⁽ ⁾

∫⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾мәндерін теңдеуге қоя отырып, интегралдаған соң сызықты

алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз:

Осыдан табамыз: , және жуықталған шешуі мына түрде болады:

Мысал 8.7. 2-ретті дифференциал теңдеу мен оның шекаралық шарттары берілсін делік:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ (8.29)

Галеркин және коллокация әдісімен шешеміз.

Шешуі. Галеркин әдісі.

[a, b] бөлігінде базисті функциялар жүйесін таңдап аламыз:

⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽⁾

Жүйенің ортогоналдылығын тексереміз:

∫ |

∫

{

( )|

∫ |

∫

( )|

{

∫ |

Базисті функциялардың таңдап алынған жүйесі ортогоналды болып табылады және ^[ ^]шекарасында ^{( )^}базисті функциялардың соңғы жүйесін таңдау шартын қанағаттандырады.

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾ () ⁽ ⁾

()
(8.29) шекті есебінің шешуі (8.17) түрінде ізделінеді.

Екі базисті функциялы есептің шешуін қарастырамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Сонда шешуі
⁽ ⁾

Екі базисті функциялы (8.29) есебі үшін (8.16) формуласы бойынша байланыссыздықты табамыз:
⁽ ⁾ ⁽ ⁾

∫ ( )

болатындай таңдалады.

⁽ ⁾барлық базисті функцияларға ортогоналды болғандықтан

∫ ( ) ⁽ ⁾

^[

⁽ ⁾ ^]

∫

Сонда (8.29) есебінің шешуі:
⁽ ⁾

Үш базисті функциялы есептің шешуін қарастырамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ .
Сонда шешуі:

( )

байланыссыздық мына түрде болады:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾
( )

Базисті функцияларға байланыссыздықтың ортогоналдық шарттарынан

, i = 1, 2 коэффициенттері үшін екі сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

және коэффициенттерін жүйеден табамыз:

( )

∫

∫ (

) ∫ ^{[ ]}

∫ ^{( )}

∫ (

) ∫ ^[ ^]

Берілген жүйені шешіп, табамыз:

Сонда (8.29) есептің шешуі:

( )

Коллокация әдісі

Екі базисті функциялы (8.29) есептің шешуін қарастырамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Сонда шешуі:
⁽ ⁾

Байланыссыздықты құрамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

[-π, π] бөлігінде коллокация нүктесі ретінде 0-ді таңдаймыз.

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Сонымен, (8.29) есептің шешуі:

⁽ ⁾

Үш базисті функциялы (8.29) есептің шешуін қарастырамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ .
Сонда шешуі:

( )

Байланыссыздықты құрамыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾
( )

[– ] бөлігінде коллокацияның екі нүктесін таңдап аламыз: 0 және.

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

⁽

⁾

⁽ ⁾

( )

(

)

⁽ ⁾

( )

{

{

^{

Сонымен, (8.29) есептің шешуі:

( )

Әдебиеттер тізімі

Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 304 с.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах

— М.: Высш. шк. , 2008. – 480 с.

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 672 с.
Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – СПб.: Издатель- ство «Лань», 2009. - 608 с.
Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2002.- 840 с.
Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001.- 382 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. – 632 с.

Мұхтар Өмірзақұлы Зияханов

САНДЫҚ ӘДІСТЕР

Оқу құралы

Редактор Б.Қасымжанова Қосымша жоспар 2014ж., реті 15

Теруге тапсырылды . . .

Пішімі 60х84 1/16 Баспахана қағазы №1

Оқу - баспа бет 5,5 Таралым 50 дана. Тапсырыс Теруге қол қойылды . . .

Көлемі оқу-басп. б.

Бағасы 2750тенге

«Алматы энергетика және байланыс университеті» Коммерциялық емес акционерлік қоғамның Көшіріп-көбейткіш бюросы

050013, Алматы, Байтұрсынов көшесі,126

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21