Сабақтың тақырыбы. Иррационал теңдеулер және олардың жүйелері

Анықтама. Иррационал теңдеу деп белгісізі түбір таңбасының ішінде болатын теңдеуді айтады.

Иррационал теңдеулерді шешудің екі тәсілі бар:

1) теңдеудің екі жақ бөлігін бірдей дәрежеге шығару;

2) жаңа айнымалыны енгізу;

Берілген иррационал теңдеуді түрлендіру арқылы келесі түрге келтіреміз:

2)Теңдеудің екі жақ бөлігін n-ші дәрежеге шығарып шешу әдісі белгілі рационал теңдеуін аламыз;

3) Соңғы теңдеуді шешіп, табылған түбірлерді берілген теңдеуге қойып тексереміз.

4) Теңдеуді қанағаттандыратын түбірлерді теңдеу түбірлері деп атаймыз. Қанағаттандырмайтын түбірлер теңдеудің “бөгде түбірлері” деп аталады

ешуі. Радикалы бар өрнекті теңдіктің сол жағында қалдырып, теңдеудің қалған мүшелерін теңдіктің оң жағына шығарамыз. Сонда .

Теңдеудің екі жақ бөлігін квадраттаймыз: . Осыдан

3х+7=49-14х+х² немесе х²-17х+42=0. Соңғы теңдеудің түбірлері х₁=3 және х₂=14.

Табылған х-тің мәндерін берілген теңдеуге қойып, теңдіктің орындалатынын тексереміз:

1. 
   х₁=3 түбірін х-тің орнына қойсақ, 3+ ; 3+4=7; 7=7, яғни теңдік орындалады.
   
2. 
   х₂₌14, яғни 14+ =7; 14+7=7; 21 7
   

Шешуі.

х²-202х+985=0, х₁₌5 және х₂₌197.

Тексеру жүргізіп; х₁₌5 берілген теңдеудің түбірі болатынын, ал х₂₌197 бөгде түбір екенін аламыз. Жауабы: 5.

ІІ. Иррационал теңдеуді жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу.

Егер иррационал теңдеуде екі немесе одан көп түбір белгісі болса, онда алдымен түбірдің біреуін теңдеудің бір жақ бөлігінде қалдырып, теңдеудің екі жақ бөлігін бірдей дәрежеге шығарамыз. Сонан кейін рационал теңдеу алынғанша осы тәсілді пайдаланымыз.

Шешуі. жаңа айнымалысын енгізейік. Сонда , болады. Осыны ескерсек, t + =2,5 теңдеуін аламыз. Шыққан бөлшек-рационал теңдеуді бүтін теңдеуге келтіреміз: t²-2,5t+1=0, бұдан t₁=2 ; t₂= .

Түбірлерді ескерсек, және теңдеулерін аламыз. Енді шыққан теңдеулерді шешеміз.

1. 
   , , 3х-2= 8х+12, х=-2,8.
   
2. 
   , , 12х-8=2х+3, х=1,1.
   

х=1,1 үшін 2,5

Екі түбір де теңдеуді қанағаттындырады.

Жауабы: 1,1 ; -2,8.

Иррационал теңдеулер жүйесін шығарған кезде рационал теңдеулер және рационал теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері қолданылады.

Мысал қарастырайық.

4 – мысал. теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі. , белгілеулерін енгіземіз. Сонда берілген теңдеулер жүйесі мынадай жүйеге көшеді:

немесе

Соңғы теңдеулер жүйесіне алмастыру тәсілін қолданып, , және , мәндерін аламыз. Енді , белгілеулерін ескеріп, х және у айнымалыларының мәндерін анықтаймыз:

Тексеру: 1) және болса, онда

2) және болса, онда

х және у айнымалыларының табылған мәндерінің бәрі берілген теңдеулер жүйесін қанағаттандырады.

Есептер шығару

Шешуі.

Жауабы: 14.

Шешуі. ; 3-х²=-1, х²=4, х=-2, х=2.

Тексеру: х=2, , -1=-1

х=2, -1=-1

Жауабы:-2; 2.

Есеп 2.

1) екі жағын үшінші дәрежеге шығарамыз х+2=27, х=25 Тексеру х=25 2) 3+ = х екі жағын квадраттаймыз

Д=49

Тексеру: х=1, 3+ =3+ =6, 5 6 , қанағаттандырмайды

х=6, 3+ =3+ =3+3=6, 6=6.

Жауабы: 6.

Есеп 3. Теңдеуді шешіңдер

1)

2)

3)

4)