Межрегиональная заочная математическая олимпиада 2008/09
учебного года (Всероссийской школы математики и физики
«Авангард»).
6 класс
Решения задач
1. Для решения соединим середины сторон треугольника (см. рисунок).
2. Очевидно, что вторая цифра второго сомножителя —
0
. Последняя цифра
второго сомножителя
может быть либо четверкой, либо девяткой. В первом
случае первая строка результата — 3764, а во втором — 8469. Чтобы третья от
конца цифра произведения равнялась трем, последняя
цифра второй строки
результата (и соответственно первая цифра второго сомножителя) должна быть в
первом случае — 6, а во втором — 9. При этом вторая строка результата в
первом случае будет 5646, а во втором — 8469. Второй случай невозможен,
поэтому второй сомножитель — 604. Пример принимает вид:
941·604 = 568 364.
3. Продолженные грани куба представляют
собой три пары параллельных
плоскостей. Каждая пара делит пространство на три части. Следовательно, всего
будет 3·3·3 = 27 частей.
4. Турнирная таблица двухкругового чемпионата из
N
команд имеет размер
N
x
N
с перечеркнутыми
диагональными клетками, то есть содержит
N
2
–
N
=
N
(
N
– 1) клеток для внесения результатов. Столько должно быть и матчей. То
есть число 9702 нужно представить в виде произведения двух последовательных
натуральных чисел. 9702 = 2·3
2
·7
2
·11 и представимо в искомом виде
единственным способом: 9702 = 99·98. В чемпионате участвуют 99 команд.
5. Задача может быть решена в одно взвешивание.
Разделим шарики на две
кучки по 1006 шариков и взвесим их. Если неравенство — задача решена. Если в
результате взвешивания получится равенство, то значит, что в каждой кучке по
503 шарика каждого вида (понятно, что равные по весу кучки из равного
количества шариков должны быть одинаковы по их составу). Теперь разделим
любую из этих кучек по 1006 шариков на две по 503 (взвешивать
для этого
ничего не надо). Полученные две кучки всегда имеют разный вес.
Действительно, если предположить, что их вес может быть одинаковым, то в
этом случае в обеих кучках должно быть равное
количество шариков каждого
вида, что невозможно, так как 503 не делится на 2.
