Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 6. КРИВИЗНА 105 1567. Даны (рис. 35): дуга AM окружности с радиусом, равным 5, и с центром в точке (0, 5) и отрезок ВС прямой, соединяющей точки В ( 1, 3) и С (11, 66). Требуется точку М соединить с точкой В дугой Рис. 35. параболы так, чтобы линия А М ВС имела везде непрерывную кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять параболу 5-го порядка). В задачах 1568— 1574 найти координаты центра кривизны и урав нение эволюты для данных линий. 1568. Парабола «-го порядка у — х п. 1569. Гипербола Ъ- 1570. Астроида х'л -\-у3 = а 3. 1571. Полукубическая парабола у 3 1572. Парабола x = 'St, y — t2— 6. 1573. Циссоида у 1 — ^ - — . ^ 1а — х х = а (1 -(- c o s 2 / )s in t, у = a s i n 2 1 c os t. 1675. Показать, что эволюта трактрисы t ах% 1574. Линия X: — a (In tg -ту cos t\, y = asin/ есть цепная линия. 1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали р аУ пред ставляет собой точно такую же спираль, только повернутую на неко торый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта совпала с самой спиралью? 1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно получить путем поворота одной из них на соответствующий угол. 1578. Показать, что расстояние некоторой точки циклоиды от центра кривизны соответствующей точки эволюты равно удвоенному диаметру производящего круга. 1579. Эволютой параболы у* — 4рх служит полукубическая пара бола pyi = ^ ( x — 2^)3. Найти длину дуги полукубической параболы от острия до точки (х, у). 1580. Найти длину этой эволюты эллипса, полуоси которого равны а и Ь. 1581. Показать, что эволютой астроиды х = «cos3 t, j/ = «sin3£ является астроида вдвое больших линейных размеров, повернутая на 45°. Воспользовавшись этим, вычислить длину дуги данной астроиды. 1582*. Показать, что эволюта кардиоиды х = 2 a cos t — a cos 2t, у — 2а sin t — a sin 21 есть также кардиоида, подобная данной. Воспользовавшись этим, найти длину дуги всей кардиоиды. 1583*. Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой линии либо только возрастает, либо только убывает, то окружности кривизны, соот ветствующие различным точкам этой дуги, не пересекаются и лежат одна внутри другой. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|