92
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ! ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКО В
1276.
При каком значении а функция
/(х) =
a sin л; -j- -у sin Зх
имеет экстремум при х = ~/3? Будет ли это максимум или минимум?
1277. Найти значения
а и
Ь, при которых функция
имеет
экстремумы п точках Х\ = 1 и х.> = 2. Показать, что при этих
значениях
а и
Ь данная функция имеет минимум в точке
Х\ и
максимум
в точке х2.
1278. Выяснить, выпукла или вогнута линия
у = х "л— 5х:|— 1
3О
в окрестностях точек ( 1, 11) и (3, 3).
1279. Выяснить,
выпукла или вогнута линия у = arctg
х в окрест
ностях точек ( 1, ^г/4) и (— 1, — -/-1).
1280. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х'-1п х в окрестностях
точек ( 1, 0) и (1 /-, — 2/е4).
1281. Показать,
что график функции у = х arctg х везде погнутый.
1282. Показать, что график функции у = 1п(х2— 1) везде выпуклый.
1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде
вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.
1284. Пусть
Р (х )— многочлен с положительными
коэффициентами
и четными показателями степеней. Показать, что график функции
у = Р (х)
ах -j-
b везде вогнутый.
1285. Линии
у = о (х) и
у = <Ь(х) вогнуты на интервале
{а, Ь).
Доказать, что на данном интервале: а) линия
у = ср (х)
^ (х) вогнута;
б) если ср(х) и ^(х) положительны и
имеют общую точку минимума,
то линия
у = ср(х)^(х) вогнута.
1286. Выяснить вид графика функции, если известно, что в интер
вале
(а, b):
В задачах 1287— 1300 найти точки перегиба и интервалы вогну
тости и выпуклости графиков данных функций.
у = а In х -f-
bx- -\- х
В ы п у к л о с т ь, в о г н у т о с т ь , т о ч к и п е р е г и б а
1) У > 0, / > 0,
у" < 0;
2) у > 0, У < 0, / ' > 0;
3) J '< 0 , / > 0 ,
у " > 0 ;
4) у > 0 , У < 0 , У '< 0 .
1287.
у = х 3 — 5х- -{- Зх — 5.
^ 1288.
у = (х + 1)4 + е*.
1289.
у = х 4 — 12х3 -j- 48х2 — 50.
1290.
у = х -|- 36х2 — 2х3 — х 4. 1291.
у = Зх5 — 5х4 -|- Зх — 2.
1292.
у = ( х + 2)4-2-^ + 2.
1293.
х, ^ 3да-
(а > 0)-