Линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами



Дата09.10.2019
өлшемі4,72 Kb.
#49450
түріРешение
Байланысты:
diffur 9088554934

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 -5 r + 4 = 0

D = (-5)2 - 4 • 1 • 4 = 9



Корни характеристического уравнения:

r1 = 1

r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = ex

y2 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:

f(x) = 5•e3•x



Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:

y' = 3•A•e3x

y'' = 9•A•e3x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -5y' + 4y = (9•A•e3x) -5(3•A•e3x) + 4(Ae3x) = 5•e3•x

или


-2•A•e3x = 5•e3•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

-2A = 5

Решая ее, находим:



A = -21/2;

Частное решение имеет вид:

y* = -21/2e3x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:



Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Дифференциальные уравнения

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет