Сборник задач по высшей математике для студентов 1 курса
жүктеу/скачать 1,34 Mb.
|
2647 sbornik vishaya
Разделяем переменные: . Интегрируя, находим , , или Откуда , или . 2) Решить уравнение у/-2у=е2х. Решение Полагаем , тогда получаем (*) Для определения получим уравнение , т.е. . Откуда . Интегрируя, получим , или . Подставляя выражение функции в уравнение (*), получаем уравнение или . Откуда , или . Т.к. , то общее решение данного уравнения будет иметь вид : Задача 10 1) Найти общее решение уравнения: у" + 4у'+3у = х . 2) Найти общий интеграл линейного неоднородного уравнения: у"+2у' + 5y = 2cosx . 3) Решить уравнение: – 7 + 6 y = (х - 2) еx . Решение 1)Общее решение соответствующего однородного уравнения есть Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид хе0x (т. е. вид P1(x)e0x), причем 0 не является корнем характеристического уравнения k2+4k+3 = 0, то частное решение будем искать в форме y* = Q1(х)е0x, т.е. положим y* = A0x + A1 Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь 4A0 + 3(A0x+A1) = x Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим ЗA0=1, 4A0 + ЗA1 =0 откуда
Следовательно, Общее решение будет 2) Найти общий интеграл линейного неоднородного уравнения: у"+2у' + 5y = 2cosx . Решение
Характеристическое уравнение k2+2k + 5 = 0 имеет корни k1=-1+2i; k2=-1-2i. Поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у* = А соsx + Bsinx где А и В - постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя у* в заданное уравнение, будем иметь -A cos х - В sinx+2 (-A sin x+B cos x)+ 5 (A cos+B sin x) = 2 cos x Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим два уравнения для определения А и В: -A+2B+5A=2, -B-2A+5B=0 откуда A = 2/5, В=1/5. Общее решение данного уравнения: т.е. 3) Решить уравнение: – 7 + 6 y = (х - 2) еx . Решение
Здесь правая часть имеет вид P1(x) е1x, причем коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического многочлена. Следовательно, частное решение ищем в виде y* = xQ1(x)ext или
жүктеу/скачать 1,34 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|