Сборник задач по высшей математике для студентов 1 курса

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

бет	1/4
Дата	16.01.2023
өлшемі	1,34 Mb.
	#165612
түрі	Сборник задач

1 2 3 4

Байланысты:
2647 sbornik vishaya

testent.ru Page 16.01.2023

Сборник задач по высшей математике для студентов 1 курса

Преподавание математики имеет целью: Дать будущему инженеру определенный объем знаний по математике, необходимый как для изучения смежных инженерных дисциплин, так и специальных курсов; развивать математическую интуицию и умение использовать изученные математические методы в решении задач прикладного характера, связанных с будущей специальностью студента; воспитывать математическую культуру и умение работать с книгой.

В результате изучения курса студент должен приобрести твердые навыки решения математических задач и развить на этой базе логическое и алгоритмическое мышление; выработать первичные навыки математического исследования прикладных вопросов и умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со специальностью студента; уметь при решении задач выбирать и использовать необходимые вычислительные методы и средства (компьютер, справочники, таблицы) с целью получения практических рекомендаций.
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Она складывается из чтения учебников, решения задач, выполнения контрольных заданий. В помощь заочникам институт организует чтение лекций и проведение практических занятий. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами во время субботних занятий. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института будет достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов является сдача экзаменов в соответствии с учебным планом.

1 ПРОГРАММА КУРСА

1.1 Линейная алгебра.

1. Определители, их свойства (Понятие определителя, Свойства определителей)

2. Матрицы, виды матриц. (Вычисление определителя n-го порядка, Обратная матрица, Ранг матрицы)
3. Действия над матрицами, умножение матриц.
4. Решение систем линейных уравнений (с.л.у.) методом Крамера.
5. Обратная матрица.
6. Решение с.л.у. с помощью обратной матрицы. Матричное уравнение.
7. Метод Гаусса решения с.л.у.

1.2 Аналитическая геометрия

1.Вектор, проекция вектора на ось. Линейные операции над векторами.
2.Линейная зависимость векторов. Базис.
3.Скалярное произведение векторов.
4. Векторное произведение векторов.
5. Смешанное произведение векторов.
4.Прямая линия на плоскости, виды уравнений.
5.Прямая линия в пространстве, виды уравнений.
6.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, окружность.
7.Плоскость, виды уравнений.
8.Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конусы.

1.3 Введение в математический анализ.

1.Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
2. Число е, второй замечательный предел. Натуральные логарифмы.
3.Предел функции.
4.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
5.Замечательные пределы: 1, 2, 3, 4, 5.
6.Сравнение б/м. Эквивалентные б/м.
7.Свойства непрерывных функций на отрезке.

1.4Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1.Определение производной, ее механический смысл.
2.Касательная и нормаль к кривой.
3.Производная сложной функции. Правила дифференцирования.
4.Производные высших порядков.
5.Дифференциал функции, применение его в приближенных вычислениях.
6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа.
7.Правило Лопиталя.
8.Экстремумы, монотонность функции.
9.Точки перегиба, выпуклость и вогнутость кривой.
10.Асимптоты графика функции.
11.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1.5Дифференциальное исчисление функции многих переменных.

1.Определение функции многих переменных, линии уровня, график.
2.Частные производные.
3.Полный дифференциал, его применение в приближенных вычислениях.
4.Градиент, производная по направлению.
5.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
6.Метод наименьших квадратов.

1.6 Неопределенный и определенный интегралы.

1. Первообразная.
2. Неопределенный интеграл, свойства и правила интегрирования.
3. Таблица интегралов.
4. Методы интегрирования:
1) интегрирование по частям;
2) интегралы, содержащие квадратный трехчлен;
3) метод неопределенных коэффициентов;
4) интегралы, содержащие тригонометрические функции и
иррациональности.

1.7 Дифференциальные уравнения.

1.Основные понятия дифференциальных уравнений.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Линейные диф. уравнения второго порядка, основные понятия, свойства.
5. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
6 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии
и линейной алгебры
Задача 1
Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.
Требуется найти:
1) Угол между ребрами А₁А₂иА₁А₄;
2) Площадь грани А₁А₂А₃;
3) Уравнение плоскости А₁А₂А₃;
4) Объем пирамиды;
5) Уравнения и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;
6) Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃;
7) Уравнение плоскости, параллельной А₁А₂А₄, проходящей через А₃
8) Угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:
9) Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

1.1 А₁(14; 4; 5), А₂(-5; -3; 2), А₃(-2; -6; -3), А₄(-2; 2; 1).

1.2 А₁(2; -1; 2), А₂( 1; 2; -1), А₃( 3; 2; 1), А₄(-4; 2; 5).
1.3 А₁(1; 1; 2 ), А₂(-1; 1; 3), А₃(2; -2; 4 ), А₄(-1; 0; -2).
1.4 А₁( 2; 3; 1 ), А₂( 4; 1; -2), А₃( 6; 3; 7), А₄( 7; 5; -3).
1.5 А₁(1; 1;-1 ), А₂( 2; 3; 1), А₃( 3; 2; 1), А₄( 5; 9; -8).
1.6 А₁(1; 5; -7), А₂( -3; 6; 3), А₃( -2; 7; 3), А₄(-4; 8; -12).
1.7 А₁(-3; 4; -7 ), А₂(1; 5; -4), А₃(-5; -2; 0 ), А₄(2; 5; 4).

А₁( -1; 2; -3 ), А₂( 4; -1; 0), А₃( 2; 1; -2), А₄( 3; 4; 5).

1.9 А₁(4; -1; 3 ), А₂(-2; 1; 0 ), А₃(0; -5; 1 ), А₄(3; 2; -6).
1.10 А₁( 1; -1; 1 ), А₂( -2; 0; 3), А₃( 2; 1; -1), А₄( 2; -2; -4).
1.11 А₁(1; -4; 5), А₂(5; -3; 2), А₃(2; -6; -3), А₄(2; 2; 1).
1.12 А₁(12; -1; 2), А₂( 1; -2; -1), А₃( 3; -2; 1), А₄(4; 2; 5).
1.13 А₁(10; 1; 2 ), А₂(-1; -1; 3), А₃(2; 2; 4 ), А₄(-1; 0; -2).
1.14 А₁( -2; 3; 1 ), А₂( 4; -1; -2), А₃( 6; -3; 7), А₄( 6; 5; -3).
1.15 А₁(11; 1;-1 ), А₂( 2; -3; 1), А₃( 3; -2; 1), А₄( 5; 0; -8).
1.16 А₁(1; -5; -7), А₂( 3; 6; 3), А₃( -2; -7; 3), А₄(-4; 8; -12).
1.17 А₁(3; 4; -7 ), А₂(1; -5; -4), А₃(-5; 2; 0 ), А₄(2; 5; -4).
1.18 А₁( 1; 2; -3 ), А₂( 4; 1; 0), А₃( 2; -1; -2), А₄( 3; -4; 5).
1.19 А₁(4; 1; 3 ), А₂(-2; -1; 0 ), А₃(0; 5; 1 ), А₄(3; -2; -6).
1.20 А₁( 12; -1; 1 ), А₂( 2; 0; 3), А₃( 2; -1; -1), А₄( 2; -2; -4).
Задача 2
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

методом Гаусса,
методом Крамера,
средствами матричного исчисления.

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

Введение в математический анализ

Задача 3

Найти пределы функции.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11 a)

б)

3.12 a)

б)

3.13 a)

б)

3.14 a)

б)

3.15 a)

б)

3.16 a)

б)

3.17 a)

б)

3.18 a)

б)

3.19 a)

б)

3.20 a)

б)

Производная и ее приложения

Задача 4
Найти производные заданных функций

(в случаях г и д найти производные второго порядка ).

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11 а) б) в)

г) д)

4.12 а) б) в)

г) д)

4.13 а) б) в)

г) д)

4.14 а) б) в)

г) д)

4.15 а) б) в)

г) д)

4.16 а) б) в)

г) д)

4.17 а) б) в)

г) д)

4.18 а) б) в)

г) д)

4.19 а) б) в)

г) д)

4.20 а) б) в)

г) д)

Функции нескольких переменных

Задача 5

5.1 Дана функция . Показать, что

5.2 Дана функция . Показать, что

5.3 Дана функция . Показать, что

5.4 Дана функция . Показать, что

5.5 Дана функция . Показать, что

5.6 Дана функция . Показать, что

5.7 Дана функция . Показать, что

5.8 Дана функция . Показать, что

5.9 Дана функция. . Показать, что

5.10 Дана функция . Показать, что

5.11 Дана функция . Показать, что

5.12 Дана функция . Показать, что

5.13 Дана функция . Показать, что

5.14 Дана функция . Показать, что

5.15 Дана функция . Показать, что

5.16 Дана функция . Показать, что

5.17 Дана функция . Показать, что

5.18 Дана функция . Показать, что

5.19 Дана функция . Показать, что

5.20 Дана функция . Показать, что

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4