Секциясы: Жаратылыстану-математикалық бағыты
Тригонометриялық функциялардың анықтамалары және қасиеттері
жүктеу/скачать 1,12 Mb.
|
ғылыми жұмыс Қарақат
| 1.3 Тригонометриялық функциялардың анықтамалары және қасиеттері
Тригонометриялық функциялардың анықтамалары. радиус-векторы осімен бұрыш жасайды дейік, оның ұшының координаттарын және деп белгілейік. Ал, радиус-вектор ұзындығы болсын (5-сурет). 5-сурет 1-анықтама. Радиус-вектор ординатасының вектор ұзындығына қатынасын вектордың осімен жасайтын бұрышының синусы деп атайды, ол былай белгіленеді: . 2-анықтама. Радиус-вектор абциссасының осы вектор ұзындығына қатынасын радиус вектордың осімен жасайтын бұрышының косинусы деп атайды, ол деп белгіленеді. 3-анықтама. Радиус-вектор ординатасының абцисса ұзындығына қатынасы радиус-вектор осімен жасайтын бұрышының тангенсі деп аталады, ол ( ) деп белгіленеді. 4-анықтама. Радиус-вектор абциссасының ордината ұзындығына қатынасын радиус-вектордың осімен жасайтын бұрышының котангенсі деп атайды. Ол ( ) деп белгіленеді. Аргументтің мәндері , , болғанда тригонометриялық функциялардың мәндерін есептейік. болсын, бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең теореманы пайдалансақ, (6-сурет); 6-сурет онда болады: . ; , ал ; ; ; . Егер катетті 1 өлшем десек, онда гипотенуза -ге тең (7-сурет). Бұл арадан ; ; ; болатынын оңай байқауға болады. 7-сурет Тригонометриялық функциялардың таңбалары. ; теңдіктерінде оң сан. Ендеше тригонометриялық функциялардың таңбалары координат жүйесіндегі абцисса және ординаталардың таңбаларына сәйкес анықталады. 0; ; , және -дегі тригонометриялық функциялар мәндері (1-кесте).
Центрі координаттар бас нүктесінде жататын тригонометриялық дөңгелек кескінделген (8-сурет). Радиус-векторы дөңгелекті бірлік дөңгелек дейді. радиус-вектор, ал вектордың абциссамен жасайтын бұрышы болсын. 8-сурет 1. Егер болса (вектор координаттары және ), онда мен нүктелері беттеседі: ; ; . -тің мәні болмайды, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең. 2. Егер болса ( , ), онда мен нүктелері беттеседі: ; ; -нің мәні болмайды, ( болғандықтан); . 3. Егер болса ( ; ), мен беттеседі: ; ; ; -дің мәні болмайды, себебі . 4. Егер болса ( , ), беттеседі: ; ; . -нің мәні болмайды, себебі . 5. Егер болса, беттеседі: ; ; ; -дің мәні болмайды, себебі . Енді бұрыштың 0-ден -ге дейін өзгеруіне байланысты тригонометриялық функциялардың өзгеруіне таблица жасап көрсетсек (2-кесте):
Тригонометриялық функциялардың периодтығы және жұптығы.1.Периодты функциялар. Бірлік дөңгелекте және бұрыштарын қарастырсақ, онда радиус-векторлардың орнласуы бірдей болады, яғни . Егер ... , сол сияқты ... , болса да радиус-вектордың орны өзгермейді. Сонымен мұны қысқаша (мұндағы ...) деп жазуға болады. (1) (1) формулалары функциялары үшін дұрыс болады, период деп аталады. Синус пен косинустың периодтары ... , оның ең кішісі ‒ . Ал тангенс пен котангенс үшін және бұрыштарын бірлік дөңгелекте қарастырсақ, радиус-векторлардың орналасуы бірдей болады. Бұдан Олай болса, теңдіктері орынды. Бұл теңдіктерден функцияларының периоды болатынын көреміз. 2. Жұп және тақ функциялар. Бірлік дөңгелекте және бұрыштарын қарастырайық. және шамаларын салыстырсақ, нүктесінің координаттары және ал нүктесінікі ‒ және . Олай болса, және нүктелері осіне қарағанда симметриялы орналасқан (9-сурет). 9-сурет бұл теңдіктен синус тақ функция болатынын, ал косинус жұп екені байқалады. Сондай-ақ, тангенс, котангенсте – тақ функциялар. 3. y=sinx және y=cosx функцияларының қасиеттері. Жоғарыда айтылған ; анықтамалардан x пен y арасында функциялық тәуелділік бар екенін көреміз, a, b, r– тұрақтылар. Бірнеше қасиеттерді келтірелік. 1) y=sinxжәне y=cosx функцияларының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны R, яғни . 2) y=sinxжәне y=cosx функцияларының өзгеру облысы қос теңсіздігімен анықталатын нақты сандар жиыны. 3) y=sinxжәне y=cosx периодты функциялар, олардың ең кіші ортақ периоды , яғни sinx=sin(x+2 ); cosx=cos(x+2 ), мұндағы . 4) y=sinx– тақ функция, яғни , ал y=cosx – жұп функция, яғни . 5) y=sinxфункциясының түбірлері бұл түбірлер жиыны x= формуласы арқылы анықталады. y=cosx функциясының түбірлері бұл түбірлер жиыны формуласы арқылы анықталады. 6) Аргументтің мәндерінде sinx>0 және мәндерінде sinx<0, аралығында cosx>0, ал аралығында cosx<0. 7) y=sinxжәне y=cosx функцияларының ең үлкен мәні 1, ал ең кіші мәні -1, егер болса, sinx=1. Егер болса, sinx=-1. Егер болса, cosx=1. Егер болса, cosx=-1. 8) y=sinxфункциясы аралығында -1-ден +1-ге дейін өседі және аралығында 1-ден -1-ге дейін кемиді. y=cosx функциясы аралығында -1-ден +1-ге дейін өседі және аралығында 1-ден -1-ге дейін кемиді. Бұдан монотонды аралығы екені шығады, оны былай жазуға болады: y=sinxүшін , ал y=cosx үшін . 4. және функцияларының қасиеттері. 1) функциясының анықталу облысы , , ал функциясының анықталу облысы, ; . 2) және функцияларының мәндерінің өзгеру облысы барлық нақты сандар, яғни . 3) және функцияларыпериодты, ең кіші оң периоды -ге тең. 4) және функциялары тақ, яғни , . 5) үшін (sinx функциясы сияқты), үшін (cosx функциясы сияқты). 6) аралығында және , аралығында және . 7) Монотондылық аралықтары: үшін ; үшін . және функцияларының ең үлкен де, ең кіші де мәндері болмайды. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|