ҮШБҰрыш сызықтарының теориялық негіздері
Анықтама. Ортоцентрден үшбұрыштың төбесіне дейінгі кесіндінің орталары Эйлер нүктелері деп аталады. Теорема
жүктеу/скачать 424,5 Kb.
|
ҮШБҰРЫШ СЫЗЫҚТАР МАН
| Анықтама. Ортоцентрден үшбұрыштың төбесіне дейінгі кесіндінің орталары Эйлер нүктелері деп аталады.
Теорема. Медианалардың табандары, биіктіктердің табандары және Эйлер нүктелері тоғыз нүктелердің шеңбері немесе Эйлер шеңбері деп аталатын бір шеңбердің бойында жатады(11- сурет). 11 –сурет «Эйлер шеңбері» Дәлелдеуі. -ның қабырғасының орталары және болсын. және үшбұрыштың екі биіктігі. -оның ортоцентрі, -на сырттай шеңбер сызамыз. биіктіктің және кесіндісінің ортасы, яғни Эйлер нүктесі- -дің осы сырттай сызылған шеңбердің бойында жататындығын дәлелдейік. Шындығында, -тік бұрышты үшбұрыштың медианасы, ол тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға түсірілгендіктен: . Сонымен -тең бүйірлі трапеция болғандықтан трапецияның үш төбесінен өтетін шеңбер оның төртінші төбесі арқылы өтеді. Биссектриса (лат. bіs — екі қайтара, екі рет және seco — қиып өтемін, бөлемін) —бұрышының төбесі арқылы өтетін және оны қақ бөлетін түзу сызық. Биссектрисаның әрбір нүктесі бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады, яғни бұрыштың биссектрисасы оның симметрия осі болады. Үшбұрыштың бір бұрышының төбесінен оған қарсы жатқан қабырғаға дейін жүргізілген түзу сызық кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады. Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде — осы үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелектің центрінде қиылысады [7]. Егер А мен В әр түрлі нүктелер болса, онда олардың арақашықтығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын атайды. Егер А мен В нүктелері дәл келіп беттесетін болса, онда олардың ара қашықтығы нөлге тең деп алынады. Теорема (үшбұрыш теңсіздігі). Үш нүкте қандай болғанмен де, ол үш нүктенің кез келген екеуінің ара қашықтығы олардың үшінші нүктеге дейінгі ара қашықтықтарының қосындысынан артық болмайды. Ал бұл осы ара қашықтықтардың әрңайсысы да қалған екеуінің қосындысынан кіші не оған тең дегенді білдіреді. Дәлелдеу. А, В, С — берілген үш нүкте болсын. Егер осы үш нүктенің екеуі немесе тіпті үшеуі де беттесетін болса, онда теорема түжырымы өзінен-өзі айқын. Егер үш нүктенің барлығы да әр түрлі нүктелер болып және бір түзудің бойында жатса, олардың біреуі, мысалы В нүктесі, былайғы екеуінің арасында жатады. Бұл жағдайда АВ-ВС = АС. Бұдан байқайтынымыз: ол үш ара қашықтықтың әрқайсысы былайғы екеуінің қосындысынан артық болмайды. Енді үш нүкте бір түзуде жатпайды деп ұйғарайық (11-сурет). Сонда АВ<АС—ВС болатындығын дәлелдейміз. АВ түзуіне CD перпендикулярын түсіреміз. Жоғарыда дәлелдегеніміз бойыншаAB Теорема дәлелденді. 12-сурет «Үшбұрыш теңсіздігі» Үш нүкте бір түзудің бойында жатпайтын жағдайда үшбұрыш теңсіздігі қатаң теңсіздік екенін ескертеміз. Мұның мәнісі — кез келген үшбұрыштың әрбір қабырғасы былайғы екі қабырғасының қосындысынан кіші болады. Үшбұрыштың кез келген төбесінен қарсы жатқан қабырғасына немесе созындысына түсірілген перпендикуляр үшбұрыштың биіктігі деп аталады. Үшбұрыштың үш биіктігі бір нүктеде қиылысады, оны ортоцентр деп атайды.Үшбұрыштың қабырғаларының орталары арқылы жүргізілген перпендикуляр бір нүктеде қиылысады және ол сырттай сызылған дөңгелектің центрі болады. Үшбұрыштың үш қабырғасы бойынша ha формуласын жазайық. , (Герон формуласы), , . Үшбұрыштың кез келген төбесін қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесінді үшбұрыштың медианасы деп аталады. Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны үшбұрыштың ауырлық центрі деп атайды. Бұл нүкте әрбір медиананы 2׃1 қатынасына бөледі(төбесінен есептегенде). Үшбұрыштың үш қабырғасы бойынша формуласын жазайық (12-сурет) [8]. , осы формуланы дәлелдейік. Берілген АВС үшбұрышын АВСД параллелограмына толтырайық та, оған мына теореманы пайдаланайық: мұндағы BC=a, AB=CD=c, AC=BD=b, AO=ma, AD=2ma орындарына қойсақ: 13-сурет «Медианалардың қиылысуы» Бұрыштың бисектрисасы деп, сол бұрышты тең екіге бөлетін сәулені айтады. Ал үшбұрыштың биссектрисасы деп, оның төбесінен қарсы жатқан қабырғасына дейінгі кез келген бұрыштың биссектрисасының кесіндісін айтады. Үшбұрыштың үш биссектрисасы бір нүктеде қиылысады, ол іштей сызылған дөңгелектің центрі болады. Үшбұрыштың үш қабырғасы бойынша формуласын жазайық(13-сурет). 14-сурет «Үшбұрыш биссектрисасының формуласы» (1) формуланы дәлелдейік. Биссектриса қарсы жатқан қабырғаны өзімен сыбайлас жатқан қабырғасымен пропарционалдық бөліктерге бөледі: а1׃а2=c׃b осыдан қалауымыз бойынша пропорция құрамыз [8]. , , сонда (2), тағы осылайша , сонда (3). (2) мен (3)-ті Стюарт теоремасындағы формулаға ( мұндағы AD-ны -мен алмастырсақ , сонда ) алмастырсақ (1) формула шығады. 1.2 Үшбұрыш сызықтарының қасиеттері Қазіргі ақпараттандыру заманында математиканың негізін меңгеру, жас ұрпаққа білім беру мен тәрбиелеудің бірден-бір негізі болып табылады. Математика негізі оқушының ой өрісін дамытып, онын ойлау қабілетін кеңейтіп, кеңістік ұғымы, яғни белгілі бір білім дағдыларын көз алдында елестетіп, оны математикалық тілде өрнектей алады. Математикалық оқытуды, соның ішінде геометрия пәнін оқытуды белгілі мақсаттарға бөлуге болады [9]. Білімділік мақсаты - барлық оқушыларды математика ғылымының негізі болатын білімдер жүйесімен ол білімдерді саналы түрде қолдана алудың іскерліктері мен дағдыларын қалыптастыру. Тәрбиелік мақсаты - окушылардың математикалық тіл мәдениеттілігі мен математикалық іс-әрекеттер арқылы пәнге қызығушылығын, геометриялық элементтерді қолдана алу іскерліктерін қалыптастыру. Дамытушылық мақсаты - әрбір жеке тұлғаның ақыл-ойының дамуына адамгершілікке ұмтылып, әдемілікті сүюге, үйретуге және шығармашылық даму мүмкіңдігіне жағдай жасайды. Осы мақсаттар негізінде геометрия сабағында басты бағыт оқушылардың білімдерін толықтыруға, басқа пәндерді оқып үйренуге, күнделікті тұрмыста қолдануға қажетті нақты геометриялық білімді меңгеруге бағытталады. Геометрия пәнінен алған білімінін нәтижесінде қоғамда адамның толығымен қызмет жасауына қажетті ойлаудың қасиеттері қалыптасады. Ал оқытудың барлық кезендерінде суреттер мен сызбаларды қолдану арқылы үнемі көрнекілікке жүгіну геометрия курсынын қолданбалы бағдарын қамтамасыздандырады және осынын негізінде оқушылардың геометриялық ой-түсінігін дамытады. Геометрияны оқытудың нәтижелілігін арттыруға септігін тигізетін әр сабақта естен шығармай қолданып отыратын әдістемелік нұсқауларды келтірейік: -алғашқы сабақтан бастап геометриялық аксиоматикалық, негіздегі құрылымының мақсаты мен мәнін мүмкіндігінше жете түсіндіру, қажет болса, оқу процесі барысында бұл сұраққа қайта оралып отыру керек; -оқушылардың қажетті геометриялық сызбаларды дұрыс орындауларына аса көңіл бөлу қажет. Дурыс салынған сызба геометриялық есептерді шешу, дәлелдеу жолдарының ең тиімді құралдары екенін ескеріп отыру керек; -геометриялы есептер мен теоремаларды дұрыс талдау жасай білу бейімділігін қалыптастыру қажет. Ол үшін оқушылардың есеп шартына жете түсініп, шарт бойынша берілген және табуға, дәлелдеуге қажет деректерді айқындап, оларды ажырата білуді, бұл деректер арасындағы байланыстарды, қатынастарды көрсете білуге бейімдеу қажет. Жеке тұлға - адамның психикалық, рухани мәні. Олардын өзінде адамның әлеуметтік маңызды қасиеттер жиынтығы, өзіне және өзімен-өзінің, дүниеге және дүниемен қатынастарының жүйесі, мінез-құлық әрекеттерінің жиынтығы жатады. Қазіргі кезде баланың тұлғалық дамуына бағытталған жана оқыту технологиясы көптеп саналады. Соның бірі сыни тұрғыдан ойлау технологиясын геометрия сабағында қолданылуының кейбір жағдайларына тоқталғым келеді Мұнда жаңа тақырып бойынша оқушы геометриялық кейбір түсініктерді жеңілден күрделіге көше отырып, нактылы дәлелдемелермен окушы ойын тұжырымдауға әкелетін стратегияның бірі Блум өлшемдері. Блум өлшемдерін біле отыра оқушы жаңа ұғымға өз көзқарасы тұрғысынан баға беріп, өзінің білім деңгейін көрсетеді. Мысалы, «Фигуралардың ұқсастығы» тақырыбында ұксас түрлендіру ұғымына окушы өз көзкарасы тұрғысынан баға береді. Ұқсас түрлендіру туралы тұжырым қалыптастырады. Блум өлшемдерін жинақтау өлшемінде жаңа ұғымның әрбір бөліктерін жинақтау арқылы жаңа ұғым қалыптастырады. Мысалы, жоғарыда келтірілген такырыптағы негізгі ұғымдарды жинақтап жаңа тұжырым құрастыру немесе оқулықта берілмеген, бірақ осы ұғымды пайдаланып есеп шығаруда қолдануы [10]. Топтастыру стратегиясы, категориялы топтастыру да геометрия сабақтарында көбінесе қызығушылығын ояту, толғаныс бөлімінде қолдануға болады. 7-сыныпта «Қарапайым геометриялық фигуралар және олардың негізгі касиеттері», «Үшбұрыштардың түрлері», «Үшбұрыштардың теңдігі» тарауларында қолданылады. Стратегиялық топтастыру қызығушылығын ояту бөлімінде ұйымдастырылса, онда толғаныс бөлімінде топтастыруға қайта тоқталып кету әр уақытта тиімді болады. бұрыш биіктік қабырға медиана биссектриса Мұнда үшбұрыштың қандай геометриялық элементтері бар? - деп сұрак қойып, жауаптарына қарай элементтерін түгендеп алуға болады. Немесе үшбұрыштың қандай түрлерін білесіңдер? - деп қабырғалары бойынша, бұрыштары бойынша түрге жіктеп алуға болады. Көбінесе геометрия сабағында қолданылатын стратегияның бірі «Еркін жазу» стратегиясы. Анықтаманы, қандай да бір пікірді өз көзқарасымен, өз түсінігімен жазу. Бұл стратегияны өзіміз үшін жазу деп те атаймыз. Бұл оқушылардың өз ойын еркін жеткізуге, ой өрісін кеңейтуге, оқушының бойында кеңістік ұғымын қалыптастыруға көп көмек етеді. Берілген геометриялық модульді шынайы өмірде пайдалану оқушылардың жаттығуларды орындауымен, мәселе есептерді шығаруымен жүзеге асырылады. «Есеп» ұғымын анықтауда бірнеше көзқарастар болған. Есеп дегеніміз не деген сұраққа В.М. Брадис былай дейді: «Есеп деп өтілген курстан қандай да бір анықтаманы, пікірді немесе теореманы дәлелдеуін, оған жауап беруге жеткіліксіз болатын кез келген математикалық сұрақтарды айтамыз» деген [11]. «Қандай да бір шешім кабылдауды қажет ететін жағдаят» ретінде есептің жалпылау анықтамасы Ю.М.Калягин мен басқа авторлардын енбегінде кездеседі. Онда есептің анықтамасын былай келтірген: - нәтижеге жетуге ұмтылдыратын, қойылған мақсат; тапсырма; - шешімін белгілі бір білім мен ой тұжырымдау негізінде табуды талап ететін сұрақ; - оқытып үйретудің және оқушы білімі мен практикалық, дағдысын тексерудің бір тәсілі. Сондай-ақ қай ғалым болсын, мұғалім болсын оқушының есеп шығаруы, оның білім дағдысын игеруде есеп шығарудың мәні зор екенін басты назарда ұстауын көздейді. Есеп шығаруда көбінесе сыни тұрғысынан ойлау стратегиясынын «Ойлан, жұптас, топтас» стратегиясын қолданамын. Көбіне бұл стратегияны тарауды корытындылау, есептер шығару сабақтарында колдануға болады. Одан басқа семантикалық карта стратегиясын белгілі бір геометриялық ұғымдарды тұжырымдағанда қолдануға болады. Оқушының геометриялық фигура, теоремаларды, қасиеттерді жинақтап, ұмытпайтындай болуына септігін тигізеді. Медианалардың төмендегідей қосымша қасиеттерін анықтап, және оны ары қарай есеп шығаруда пайдаланамыз. а) Үшбұрыштық әрбір меднанасы үшбұрышты тең шамалы (аудандары тең) екі бұрышқа бөледі. C B1 A1 A B C1 15-сурет « Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі» AA1 BB1, CC1 — медианалар О — олардын қиылысу нүктесі СD — үшбұрыштың С төбесінен түсірілген биіктігі. Дәлелдеу керек: Дәлелдеуі: болады себебі СD-АВС үшбұрышының биіктігі AAC1 мен BCC1 - үшбұрыштарының да биіктігі болады. Сондықтан олай болса бұл үшбұрыштардың аудандары тең. Дәл осылай қалған үшбұрыштардын теңдіктері дәлелденеді. Сонымен қатар себебі әрқайсысы АВС үшбұрышының ауданынын жартысына тең. ә) Үшбұрыштық медианалары үшбұрышты тең шамалы (аудандары тең) алты майда үшбұрыштарға бөледі. Берілгені: АА1,ВВ1,СС1— медианалар Дәлелдеу керек: S1= S2= S3= S4 =S5= S6 Дәлелдеуі: Алдыңғы дәлелдегеніміз бойынша болғандықтан себебі ның медианасы. Бұл тең бөліктерді алып тастасақ (1.1) деп Себебі ОС1— медиана, медиана болғандықтан. Онда деп жаза аламыз. онымен осылайша барлық үшбұрыштардың теңдіктерін (аудандарының) дәлелдеуге болады. Олай болса, -ға тең болады. Медианалардың осы касиеттерін факультативтік сабақтарда, олимпиадаларға дайындағанда М, И. Канавидің «Конкурстық есептер жинағы. И. X. Сивашинскийдің «Математикадан техникумға арналған кластан тыс оқулығы», И.С.Петраковтың және К.Феттердің «Математикалық олимпиадасы» кітаптарынан медианаға байланысты есептер шығарып жаттықтық. Сол қасиеттеріне байланысты есептер қарастырайық: 1. Үшбұрыштың екі медианасы өзара перпендикуляр. Олардын ұзындықтары 18 см және 24 см. Үшбұрыштың ауданын табыңдар. Берілгені: C B1 A1 O A B C1 16-сурет « Үшбұрыш медианаларының перпендикулярлығы» Табу керек: а) Шешуі: - ның ауданын қарастырамыз. болғандықтан СО оның биіктігі болады. . Медиананың біз білетін қасиеті бойынша Дәлелдегеніміз бойынша Жауабы: 288 см2 ә) Немесе АОС1 үшбұрышының ауданын табамыз. 2. АВС үшбұрышының mа мен mc медианалары оның АС қабырғасымен қосындысы 60°-қа тең бұрыш жасайды және олардың көбейтіндісі АВС үшбұрышының ауданын табыңдар [12]. Берілгені: C B1 A1 A B C1 17-сурет «Үшбұрыш медианаларының қиылысуы» Табу керек: Шешуі: Ал, АВС үшбұрышының ауданы бұл үшбұрыштың ауданынан үш есе үлкен, Сондықтан 3.Үшбұрыштың қабырғалары 13 см, 14 см, 15 см болса, медианаларынын қиылысуынан пайда болатын үшбұрыштардың аудандары неге тең болады? Берілгені: а = 13 см, в=14 см, с=15 см. C b a O A B c 18- cурет «Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі» 4. Медианалар қиылысқанда пайда болатын үшбұрыштардың аудандарын тап. Шешуі: ол үшін Герон формуласын пайдаланып берілген үшбұрыштың ауданын табамыз. Ізделінді үшбұрыштардың аудандары Демек, майда алты үшбұрыштың әрқайсысынын ауданы 14 см2-қа тең. 5.Үшбұрыштың медианалары mв, mc-ға тең.Үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар [13]. Берілгені: АА1=mа; BB1=mв; СC1=mc C B1 A1 b a A B C1 c 19-cурет «Үшбұрыш медианасы» Табу керек: а,b,c-? Шешуі: h-тардың мәндерін теңестіріп х-a табамыз. Енді х-тің мәндерін теңестіріп с-ны табамыз. Осыған ұқсас -ның мәндерің төмендегіше жазуға болады. Осы формулалардан үшбұрыштың медианаларын қабырғалары арқылы өрнектеуге болады. Егер үшбұрыштың екі қабырғасы 14 см және 15 см.-ге тең ал, үшінші қабырғасының медианасы -ке тең болса үшбұрыштың аудандары неге тең болады. Берілгені: C 14 A B C1 20-сурет «Үшбұрыш медианасына байланысты ауданды табу» Шешуі: формуласын пайдалансақ Енді Герон формуласын пайдаланып үшбұрыштың ауданын табамыз. Жауабы: 84 см2. 7.Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың тең бүйірлерінің медианаларынын арасындағы бұрышты табыңдар [14] . Берілгені: А В1 С А1 В 21-сурет « Үшбұрыш медианалар арасындағы бұрыш» Табу керек: Шешеуі: деп алайық АС = ВС болғандықтан а = в, АОВ1 = х онда үшбұрыш тең бүйірлі болғандықтан АВС үшбұрышының ауданы қатеттері бойынша Жауабы: Осылайша медианаға байланысты геометриялық есептерді, медиананың қасиетін пайдаланып, қысқа тиімді жолмен шығаруға болады. Оқушыларға ұтымды жолдар: көрсете білу, олардың ынтасын арттырады, қызығушылығын тудырады, өздігімен жұмыс істеуге жеңілдейді. ҚОРЫТЫНДЫ Геометрияны оқыту математиканы оқытудың басқа салаларына қарағанда меңгеруге қиындығы, логикалық ойлау деңгейіне қойылатын талаптың жоғарлығына байланысты ерекшелінеді. Яғни, мамандарды математика пәні мұғалімі ретінде қалыптастыруда геометрияны оқыту әдістемесін үйрету ең басты мәселелердің бірі деп есептелінеді. Геометрияны оқытудың басты мақсаттарының бірі - оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгеру. Сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауды есептеу, ойды дәл және анық тұжрымдамай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады. Қорыта келгенде зерттеу жұмысымыз жалпы білім беретін орта мектепте «Үшбұрыш сызықтарына байланысты кейбір теңсіздіктерді дәлелдеу тәсілдері» тақырыбын оқытуға байланысты болғандықтан, осы тақырыпты оқып үйрену мәселесін зерттеу барысында мынадай қорытынды жасадық: - математикадағы геометрия курсын оқытудың психологиялық-педагогикалық жағдайлары, ерекшеліктері қарастырылды; - үшбұрыштар сызықтарының қасиеттері, оларға байланысты теңсіздіктер қарастырылды; - үшбұрыш сызықтарына байланысты теңсіздіктерді дәлелдеуге қойылатын талаптарды берілді; - үшбұрыш сызықтарына байланысты теңсіздіктерді дәлелдеудің тиімді әдістері көрсетілді. Орта мектеп математика бағдарламасы, оқулықтар, оқу әдістемелік құралдардардағы үшбұрыш ұғымына байланысты мәселелер толық қамтылып талданды. Сонымен қатар, «Үшбұрыш сызықтарына байланысты кейбір теңсіздіктерді дәлелдеу тәсілдері» бойынша кездесетін барлық ұғымдарға тоқтала отырып, оқушылардың теориялық және практикалық білімдерін дамытуға бағытталған тиімді оқыту жолдары қарасытырылды. Үшбұрыш сызықтарына байланысты теңсіздіктерді қолдану арқылы мұғалімдер көптеген жетістіктерге қол жеткізе алады деп ойлаймыз және мынадай тұжырым жасадық: - үшбұрыштың медианасы, биссектриссасы, биіктігіне байланысты дәлелденген теңсіздіктерді басқа есептерді шешуге тірек есебі ретінде қолдануға болады. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 1. Қазақстан Республикасы Президенті Н.Ә. Назарбаевтың «Қазақстан халқына жолдауы». – Астана 2010. 2. Мектепте жалпыға білім беру стандарты. Егемен Қазақстан. 2011ж 3. Мишин В.И. Методика преподования математики в средней школе. – Москва.Просвещение, 1987. 4. Погорелов А.В. Геометрия 7-11. – Алматы, «Рауан», 1995ж 5.Шыныбеков Ә.Н. Геометрия оқыту әдістемесі. – Алматы, Атамұра, 2005ж 6. Тесленко И.Ф. Методика преподования планиметрии. – Киев, Радынская школа, 1986 ж. 7. Рогановский Н.М. Методика преподования математики в средней школе. – Минск, высшая школа, 1990. 8. Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию. Книга для учащихся 6-8 кл. Сред. Школ, – Москва: Просвещение, 1986. 9. Абылқасымова А.Е. Математиканы оқыту әдістемесі. – Алматы, Санат, 1993-85б. 10. Колягин Ю.М., Лукалкин Г.А., Саннинский В.Я. Метод преподования математики в средней школе. Общая методика– М. Просвещение, 1980. 11. И.Ф.Тесленко. О преподовании геометрии в средней школе. – Москва.: Просвещение, 1985 12. Тасболатова Р.Б. Планиметрия есептері. Ы.Алтынсарин атындағы қазақтың Академиясының Республикалық баспа кабинеті, – Алматы: 2000ж. 13. Құрманғалиева Б. Теңсіздіктерді дәлелдеу. //Математика және физика. – Алматы, 2006 жыл, – №6 14. Ахметқалиева Г. Кейбір теңсіздіктерді шешудің тиімді жолдары. // Математика және физика. – Алматы, 2004 жыл, – №1 15. Қ.Қожабаев. Математиканы оқыту әдістемесі. Көмекші оқу құралы. Алматы, Санат, 1998 16. Қ.Қаңлыбаев «Геометриядан таңдамалы есептер», Алматы, Рауан, 1992 17. Прасолов.Ф.Н. Задачи по планиметрии, часть 1, – Москва, Наука, 1991. 18. Чакликова С., Өтеғұлов М. Геометрияны оқыту нәтижелерін тақырып бойынша тексеруді ұйымдастыру. – Алматы, Рауан, 1991ж 19. Миразова А. Геометриялық теңсіздіктерді оқытудың тиімді тәсілдері. // Информатика Физика Математика. – Алматы, 1998 жыл, – №3 20. Қаңлыбаева Г., Сәдірмекова Д. Теңсіздіктерді әртүрлі әдістермен шешу жолдары. // Информатика Физика Математика. – Алматы, 2002 жыл, – №5 21. Әжіғалиев О. Геометриялық емес есептердің геометриялық шешу жолдары. //Информатика Физика Математика. – Алматы, 2003 жыл, – №2 23. Седракян Н.М., Авоян А.М.Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері. // Математика және физика. – Алматы, 2004 жыл, – №1 24. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Москва, 1986 ж жүктеу/скачать 424,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|