Сызықты алгебра және аналитикалық геометрия
Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі
жүктеу/скачать 1,84 Mb.
|
Модуль1
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал
- Теорема. Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.
- ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР
- ЕКІНШІ ЛЕКЦИЯ СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ
| Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады:
r=r(A)= rangA . Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады: 1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды: r(A)min(m,n). 2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады. 3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады. Мысал. матрицаның рангісін есептейік. Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A)min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады: , , , . Үшінші ретті минорлардың бәрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың саны ) ең болмағанда бір нолге тең емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор: , сондықтан r(A)=2. Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер әдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады. Теорема. Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді. Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді. Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз: , мұндағы rп. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады. Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни r(A)=r. Мысал. матрицасының рангісін есептейік. Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз. . Соңғы матрица сатылы түрге келді және онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады: . Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3. ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР Матрица дегеніміз не және оның қандай түрлерін білесің? Анықтауыш дегеніміз не және оны есептеудің Саррюс ережесін түсіндір. Минор және алгебралық толықтауыш деген не? Лаплас теоремасын не үшін және қалай қолданылатынын түсіндір. Матрица рангсін қалай есептейді? ЕКІНШІ ЛЕКЦИЯ СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ жүктеу/скачать 1,84 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|