Сөж тақырыбы;Векторлардың скаляр, векторлық, аралас көбейтіндісі, олардың қолданылуы
Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің қасиеттері
жүктеу/скачать 58,85 Kb.
|
1 2
Байланысты:СӨЖ Векторлардың скаляр,векторлық,аралас көбейтіндісі
- Бұл бет үшін навигация:
- Векторлардың векторлық көбейтіндісі Векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы
- 10.2 Векторлардың векторлық көбейтіндісінің қасиеттері
- ВЕКТОРЛАРДЫҢ АРАЛАС КӨБЕЙТІНДІСІ
| Векторлардың скалярлық көбейтіндісінің қасиеттері
Скалярлық көбейтіндінің негізгі қасиеттері төмендегідей: 1. Егер екі вектор өзара перпендикуляр болса, онда олардың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең болады; 2. Скалярлық көбейтінді орын ауыстырымдылық заңына бағынады (9.5);
3. Скалярлық көбейтінді үлестірімділік заңына бағынады, яғни кез келген векторлары үшін төмендегі теңдік орындалады (9.6);
4. Скалярлық көбейтінді сандық көбейтінділер бойынша терімділік заңына бағынады (9.7);
Егер векторлары координаттық түрде берілсе (9.8);
онда (9.9)
немесе векторлардың скалярлық көбейтіндісі олардың аттас координаталарының көбейтіндісінің қосындысына тең. Егер болса, онда (9.9) формуласы бойынша (9.10):
Басқаша айтқанда, скалярлық көбейтіндінің анықтамасы бойынша (9.11)
Сонымен берілген векторының ұзындығы (9.12):
яғни, вектордың ұзындығы квадрат түбір астындағы оның проекцияларының квадраттарының қосындысына тең. Скалярлық көбейтіндінің анықтамасы бойынша (9.13):
бұдан (9.14)
яғни, векторлардың арасындағы бұрыштың косинусы векторлардың скалярлық көбейтіндісін олардың ұзындықтарының көбейтіндісіне бөлгенге тең. (9.5) және (9.6) формулаларын ескерсек, онда (9.15)
Векторлардың векторлық көбейтіндісі Векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы және векторларының векторлық көбейтіндісі төмендегі үш шартты қанағаттандыратын үшінші векторына тең (10.1):
1. векторының ұзындығы және векторлары арқылы жасалған параллелограмның ауданына тең; 2. векторы және векторларына ортогональді; 3. векторының бағыты былайша анықталады: егер векторының ұшынан қараса, онда векторынан векторына қысқаша бұрылу сағат стрелкасының бағытына қарама-қарсы болады (10.1 сурет).
10.1-сурет - векторының бағыты және векторларының векторлық көбейтіндісі төмендегі символдардың біреуі арқылы белгіленеді (10.2):
Егер және векторлары координатты түрде берілсе және олардың векторлық көбейтіндісі төмендегі формула арқылы есептеледі (10.3):
10.2 Векторлардың векторлық көбейтіндісінің қасиеттері 1. Көбейткіштердің орнын ауыстырғанда векторлық көбейтіндінің таңбасы қарама-қарсы өзгереді, яғни (10.4):
2. Көбейткіш сандарға байланысты векторлық көбейтінді терімділік заңына бағынады, яғни (10.5):
3. Векторлық көбейтінді үлестірімділік заңына бағынады (10.6):
ВЕКТОРЛАРДЫҢ АРАЛАС КӨБЕЙТІНДІСІ Егер біз және векторларын скалярлық түрде көбейтсек, оның нәтижесі сан болады. Осы санды үшінші векторына көбейтсек, онда векторына коллинеарлы вектор шығады. Егер және векторларының векторлық көбейтіндісін тапсақ, онда жаңа векторы шығады. Бірінші жағдайда біз векторлардың векторлы – скалярлық көбейтіндісін аламыз: , ал екінші жағдайда екі еселі векторлық көбейтінді аламыз: . Векторлы- скалярлық көбейтіндіні аралас көбейтінді деп атап, оны былай белгілейді: немесе Енді осы біз , , векторларының аралас көбейтінділерінің геометриялық мағынасын анықтайық: (8 – сурет) Қарастырылып отырған , , векторлары компланарлы болмасын. векторлық көбейтінді вектор екені белгілі, оның ұзындығының сандық мәні және векторлары арқылы салынған ОАDВ параллелограмының ауданына тең және параллелограмның жазықтығына перпендикуляр бағытқа ие (8 – сурет). Скалярлық көбейтінді . векторының векторына проекциясы ОАDB параллелограм жазықтығына перпендикуляр болады. С нүктесінің параллелограм жазықтығына + немесе - таңбасымен тең болады. , , векторлары арқылы параллелепипед салайық. Бұл параллелепипедтің биіктігі векторларының проекциясының абсолют шамасына тең, ал табанының ауданы (параллелограм АВСD) векторының ұзындығына тең. Сонымен аралас көбейтінді абсолют шамасы бойынша осы векторлар арқылы салынған параллелепипедтің көлеміне тең. Нөлдік емес векторлардың аралас көбейдіндісі нөлге тең болады, егер ол векторлар компланарлы болса. =0 теңдігі , , векторларының компланарлы болуының қажетті және жеткілікті шарты деп аталады. Егер , , векторлары координатты түрде берілсе - және және , онда олардың аралас көбейтіндісі төмендегі формуламен анықталады: (10) , , векторлары арқылыжасалған параллелепипед пен пирамиданың көлемдері сәйкес төмендегі формулалар арқылы есептеледі: жүктеу/скачать 58,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2