Теорема Лиувилля
жүктеу/скачать 95,59 Kb.
|
экзамен стат
- Бұл бет үшін навигация:
- Кафедра
- Уравнение Лиувилля
|
Министерство Образования и Науки Республики Казахстан Западно-Казахстансий университет имени М.Утемисова Факультет: физико-математический Кафедра: физики Теорема Лиувилля Выполнила: Амзе У.Б. Проверила: Жубанышова М.Н. Группа: Физ-41, 4 курс Дисциплина: Статическая физика, электронная теория вещества и основы физической кинетики Уральск, 2020 год
Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в 6N{\displaystyle 6N}966666 рпп - мерном фазовом пространстве ({\displaystyle N}NnnnnnnNnnnnnnnnNnnnnnn N N— количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами {\displaystyle q_{i}}и сопряжёнными импульсами {\displaystyle p_{i}} , где i=1,……d,d=3N {\displaystyle i=1,\dots ,d,}{\displaystyle d=3N}. Тогда распределение в фазовом пространстве p( {\displaystyle \rho (p_{i},q_{i})}) определяет вероятность {\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p} p(p,q) p того, что система будет находиться в элементе объёма {\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p} своего фазового пространства. Уравнение Лиувилля описывает эволюцию p( {\displaystyle \rho (p_{i},q_{i};t)} во времени t{\displaystyle t} согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве: Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона: Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция {\displaystyle \rho } определяется уравнением неразрывности (непрерывности): + (pv)= +p div v= v grant p где {\displaystyle \mathbf {v} }v — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:{\displaystyle \nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right = и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности: где {\displaystyle H}H- гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности {\displaystyle d\rho /dt} равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей (p,q) {\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})} в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем. жүктеу/скачать 95,59 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|