Теорема Лиувилля

Через симплектическую форму

жүктеу/скачать 95,59 Kb.

бет	3/3
Дата	18.12.2021
өлшемі	95,59 Kb.
	#103015

1 2 3

Байланысты:
экзамен стат

Через симплектическую форму
Пусть (M, -{\displaystyle (M,\omega )}((9 00ll,,симплектическое многообразие и {\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} } H:M гладкая функция. Пусть {\displaystyle V}V есть симплектический градиент {\displaystyle H}, то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

для любого векторного поля X {\displaystyle X}XXXXXx XXXxxxxx XXXXXx. Тогда

=0

где {\displaystyle {\mathcal {L}}}L обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

=0,

а если {\displaystyle M}M -2n {\displaystyle 2n}-мерно, то {\displaystyle \omega ^{\wedge n}} является формой объёма на {\displaystyle M}M.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:
N= q pp(p,q)
(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил F {\displaystyle \mathbf {F} }Ffff FFFF с координатами x {\displaystyle \mathbf {x} }Xxx m m xxxx и импульсами {\displaystyle \mathbf {p} } p, теорему Лиувилля можно записать в виде

+ v* + * =0,

где {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}}v=x — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил {\displaystyle \mathbf {F} }F.

В классической статистической механике число частиц N{\displaystyle N} vvвелико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае {\displaystyle \partial \rho /\partial t=0} можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения {\displaystyle \rho } равна любой функции гамильтониана {\displaystyle H} H, например, в распределении Максвелла-Больцмана {\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT}} , где {\displaystyle T}T — температура, {\displaystyle k}Kkkkkkkkkk k— постоянная Больцмана.

Запись через скобку Пуассона
Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах {\displaystyle (q^{i},p_{j})}( , вид

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид
=

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

{\displaystyle i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]}

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

+iLp=0.

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.}

жүктеу/скачать 95,59 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3