Теңсіздіктерді дәледеуге берілген есептерді шешу алгоритімі Теңсіздікті дәлелдеу



Дата07.04.2020
өлшемі37,5 Kb.
Теңсіздіктерді дәледеуге берілген есептерді шешу алгоритімі

Теңсіздікті дәлелдеу депайнымалының кез келген мәнінде теңсіздіктің орындалатынын көрсетуді айтады.

1-мысал. m және n сандарының арифметикалық ортасы, олардың геометриялық ортасынан кіші емес екенін дәлелдейік. Яғни,.

Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктің екі жағын да 2 санына көбейтейік: .

Шыққан теңсіздіктің екі жағын да квадраттап, түрлендіргенде шығатыны: немесе m2-2mn+n2≥0. Бұдан шығатыны (m-n)2≥0. Соңғы теңсіздік кез келген m және n үшін орындалғандықтан, теңдігі дұрыс.

2-мысал. Егер x және y сандарының қосындысы тұрақты және x=y болса, онда олардың көбейтіндісі ең үлкен болатынын дәлелдейік.

Дәлелдеуі:

Тіктөртбұрыштың ұзындығы x, ал енін y арқылы белгілейік. Сонда тіктөртбұрыштың периметрі 2(x+y). x+y=a деп алайық, мұндағы a – тұрақты сан. Егер x=y болса, онда тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені өзара тең және әрқайсысы -ге тең болады. Сонда тіктөртбұрыш квадратқа айналып, оның xy ауданы береді.Енді басқа жағдайларда, яғни x≠y болса, тіктөртбұрыштың ауданы xy=екенін дәлелдеу керек. Ол үшін соңғы теңсіздікті дәлелдейік:

4xy2,

4xy<(x+y)2,

4xy2+2xy+y2,

02+2xy+y2-4xy,

02-2xy+y2,

0<(x-y)2.

Сондықтан тізбектей түрлендіру арқылы берілген теңсіздікке мәндес 0<(x-y)2теңсіздігіналамыз. Ал соңғы теңсіздік x≠y болғанда дұрыс. Демек, берілген теңсіздік те x≠y болғанда, дұрыс болады.



  1. 1- мысалдағы теңсіздіктің дәлелдеуінде қандай ұғымдар қолданылды?

  2. Теңсіздікті дәлелдеудің теңсіздікті шешуден айырмашылығы неде?

Тапсырмалар:

123 есеп. а) (x+y)2≥4xy.

Шешуі: x2+2xy+y2≥4xy

x2+2xy+y2-4xy≥0

x2-2xy+y2≥0

(x-y)2≥0


ә) x3+y3≥x2y+xy2 (x>0, y>0)

x3-x2y+y3-xy2≥0

x2(x-y)+y2(y-x)≥0

x2(x-y)-y2(x-y)≥0

(x-y)(x2-y2)≥0

x-y≥0, (x2-y2)≥0(x>0, y>0).

125 есеп. а –ның кез келген мәнінде теңсіздік ақиқат бола ма?

а)

(1+а)2≥4а



1+2а+а2≥4а

1+2а+а2-4а≥0

1-2а+а2≥0

(1-а)2≥0 теңсіздігі ақиқат.

ә) 4а2+1≥4а

2+1-4а≥0

(2а-1)2≥0 теңсіздігі ақиқат.

б) а2+2а≥-1

а2+2а+1≥0

(а+1)2≥0 теңсіздігі ақиқат.

128 есеп. a4+b4≥a3b+ab3, мұндағы a≥0, b≥0.

a4+b4-a3b-ab3≥0

a3(a-b)+b3(b-a)≥0

a3(a-b)-b3(a-b)≥0

(a-b)(a3-b3)≥0

(a-b)≥0, (a3-b3)≥0 ақиқат болады.


129 есеп. а) (a+b) (≥4 a≥0, b≥0

(a+b) (≥4

(a+b) (≥4

≥4

(a+b)2≥4ab



a2+2ab+b2≥4ab

a2-2ab+b2≥0

(a-b)2≥0 болады.
Үйге тапсырма
Теңсіздіктерді дәлелдеу.
І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу

Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.

№1 а2 + b2 ≥ 2ab.

II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу

Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:



№3 Егер  қосындысы 1-ге тең болса, онда  дәлелдеу керек

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет