Тура әдісте жүйенің шешімі арифметикалық амалдардың ақырлы санымен шектелетіндігімен сипатталады. Тіке әдіске жататындар: Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі)

B

2j

 

2 

 

1 

b

23 

b

24 

b

25 

26

1

22

1

26

b

а

а



 

III 

3 

 

4 

 

 

2

43

2

33

а

а

 

2

44

2

34

а

а

 

2

45

2

35

а

а

 

2

46

2

36

а

а

 

B

3j

 

3 

 

 

1 

b

34 

b

35 

36

2

33

2

36

b

а

а



 

IV 

4 

 

 

 

3

44

а

 

3

45

а

 

3

46

а

 

V 

 

 

 

 

 

1 

 

 

 

1 

 

1 

1 

x

4

 

x

3

 

x

2

 

x

1

 

 

 

 

9000

,

3

0040

,

3

6672

,

0

9043

,

5

24

1

32

1

34

2

34



















b

a

a

a

;  Бұл  сандарды  кестенің    III  – 

бөлігіне толтырамыз.  

1879

,

2

3842

,

1

6672

,

0

1114

,

3

25

1

32

1

35

2

35



















b

a

a

a

 

(Бұл  мән  кестенің    ∑  

бағанында орналасады.) 

Осы арада тура жол аяқталады, матрица үшбұрышты түрге келеді. 

Кері жол 

b

1j

,  b

2j

  және  кестенің    ең  соңғы  жолында  орналасқан  элементтерді 

қолданып жүйе құрамыз: 























    

-3.9000

1.7121x

    

          

          

0040

.

3

6198

.

2

       x

          

9286

.

7

6

7143

.

1

3

3

2

3

2

1

x

x

x

x

 

Бұл жүйеден х

3

=-2,2779;  х

2

=-2,9636;  х

1

=-0,6583 екендігі шығады. 

 

 

  3- кесте –  (3.14) - есептің кестелік алгоритмі 

 

Бөліктер 

i 

X

1

 

X

2

 

X

3

 

b

i

 

∑ 

S 

I 

1 

2 

3 

0.14 

1.07 

0.64 

0.24 

-0.83 

0.43 

-0.84 

0.56 

-0.38 

1.11 

0.48 

-0.83 

0,65 

1,28 

-0,14 

 

B

1j

 

1 

1 

1.7143  -6.0000  7.9286  4,6428  4.6428 

II 

2 

3 

 

-2.6643 

-0.6672 

6.98 

3.4600 

-8.0036 

-5.9043 

-3.6878 

-3.1114 

-3.6879 

-3.1115 

B

2j

 

2 

 

1 

-2.6198  3.0040  1.3842  1.3842 

III 

3 

 

 

1.7121  -3.9000  -2.1879  -2.1879 

 

Гаусстың басшы элементті таңдау әдісі 

 

Бұл  әдісті  қолдану  үшін  жүйенің  матрицасының  басшы  элементтері 

немесе  диагональ  элементтері  нөлден  өзгеше  болуы  керек  ([11]  қараңыз). 

Егер  матрицаның  басшы  элементтері  нөлге  тең  болса,  қандай  да  бір 

алмастырулар,  ауыстырулар  қолдану  арқылы  нөлден  құтылады.  Жордан  -  

Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің 

негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, 

сол  элемент  орналасқан  жолдағы  сәйкес  белгісізді  жою.    Бұл  әдіс  те  тура 

және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін. 



































































1

3

3

2

2

1

1

1

3

3

3

33

2

32

1

31

1

2

2

3

23

2

22

1

21

1

1

1

3

13

2

12

1

11

...

...

...

...

...

nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

x

a

   

 

 

 

 

(3.15) 

 

Тура жол  

1 (3.15) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз. 

n

1,2,...,

j

  

,



ij

a

элементтерінің  арасынан  модулі  бойынша  ең  үлкен  

элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны a

pq

  деп  белгілейік. 

Барлық 

p

i

 



 мәндері үшін 

pq

iq

i

a

a

m



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.16) 

көбейткішін есептейміз.  

2 Әрбір басшы емес жолдан 

i

m

 көбейткішіне көбейтілген басшы жол   

элементтерін мүшелеп шегереміз: 

1

n

1,2,...,

j

 

n,

1,2,...,

i

  

,

1













pj

i

ij

ij

a

m

a

a

  

 

 

 

 

(3.17) 

Сонда  q-шы  бағанның  басшы  элементтен  басқа  элементтері  нөлге 

айналады. 

3 q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М

1

 матрица аласыз. 

Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды. 

4  М

1

  матрицасына  бастапқы  пункттерді  қайталап  қолдану  арқылы  М

2

 

матрицасын аламыз. 

5  Осы  процессті  бір  белгісізді  бір  жолдан  тұратын  теңдеу  қалғанша 

жалғастырамыз. 

6 Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз. 

 

Кері жол  

 

Басшы  жолдардан  құралған  матрицаны  әлдебір  ауыстырулар  арқылы 

үшбұрышты  түрге  келтіріп,  ең  соңғы  теңдеуден  ең  соңғы  белгісізді,  оны 

қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта 

анықтаймыз. 

 

  сандары  қаншалықты  азайған  сайын  есептеу  қателігі  де  азаяды. 

Сондықтан  ЭЕМ-ді  қолданып  есептеу  уақытында  осы  әдіс  тиімді  деп 

есептеледі. 

 

Ескерту.  Егер  жүйе  өте  көп  белгісіздерден  тұрып,  оның  барлық 

элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса 

басшы  жол  ретінде  жүйенің  бірінші  жолын,  ал  басшы  элемент  ретінде  осы 

жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады. 

2-мысал:  















































8471

.

1

2671

.

1

2568

.

0

2471

.

0

2368

.

0

7471

.

1

2271

.

0

2168

.

1

2071

.

0

1968

.

0

6471

.

1

1871

.

0

1768

.

0

1675

.

1

1582

.

0

5471

.

1

1490

.

0

1397

.

0

1254

.

0

1161

.

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

 

  (3.18) 

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 4- кестеге толтыруға болады:  

 

Тура жол 

 

а

44

=1,2671  басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады. 

1  (3.16) - формула көмегімен m

i

, i=1,2,3  мәндерін анықтаймыз: 

17923

.

0

 

,

14766

.

0

 

,

11759

.

0

44

34

3

44

24

2

44

14

1













a

a

m

a

a

m

a

a

m

 

4- кесте – (3.18) – есептің кестелік алгоритмі 

 

Бөлік

тер 

I 

m

i

 

X

1 

X

2 

X

3 

X

4 

A

i5 

I 

1 

2 

3 

4 

0.11759 

0.14766 

0.17923 

1.1161 

0.1582 

0.1968 

0.2368 

0.1254 

1.1675 

0.2071 

0.2471 

0.1397 

0.1768 

1.2168 

0.2568 

0.1490 

0.1871 

0.2271 

1.2671 

1.5471 

1.6471 

1.7471 

1.8471 

II 

1 

2 

3 

0.09353 

0.11862 

1.08825 

0.12323 

0.15436 

0.09634 

1.13101 

0.16281 

0.10950 

0.13888 

1.177077 

 

1.32990 

1.37436 

1.41604 

III 

1 

2 

0.07296 

1.07381 

0.10492 

0.08111 

1.11170 

 

 

1.19746 

1.20639 

 

IV 

 

1 

 

 

1.06616 

 

 

 

 

 

1.10944 

 

2   (3.17)  –  формула  бойынша  басшы  бағанда  орналасқан  басшы 

элементтен  өзге  элементтерді  нөлге  айналдырамыз  да  қалған  жаңа 

элементтерді табамыз:  

i=1; j=1 болғанда 

08825

.

1

2368

.

0

11759

.

0

11610

.

1

41

1

11

1

11















a

m

a

a

 

i

m

i=1; j=2 болғанда 

09634

.

0

24710

.

0

11759

.

0

1254

.

0

42

1

12

1

12















a

m

a

a

 

i=1; j=3 болғанда 

10950

.

0

2568

.

0

11759

.

0

1397

.

0

43

1

13

1

13















a

m

a

a

 

i=1; j=4 болғанда 

0

44

1

14

1

14









a

m

a

a

 

i=1; j=5 болғанда 

32990

.

1

8471

.

1

11759

.

0

5471

.

1

45

1

15

1

15















a

m

a

a

 

i=2; j=1 болғанда 

12323

.

0

23680

.

0

14766

.

0

1582

.

0

41

2

21

1

21















a

m

a

a

 

i=2; j=2 болғанда 

13101

.

1

42

2

22

1

22









a

m

a

a

 

i=2; j=3 болғанда 

13888

.

0

43

2

23

1

23









a

m

a

a

 

i=2; j=4 болғанда 

0

44

2

24

1

24









a

m

a

a

 

i=2; j=5 болғанда 

37436

.

1

45

2

25

1

25









a

m

a

a

 

i=3; j=1 болғанда 

15436

.

0

41

3

31

1

31









a

m

a

a

 

i=3; j=2 болғанда 

16281

.

0

42

3

32

1

32









a

m

a

a

 

i=3; j=3 болғанда 

17077

.

1

43

3

33

1

33









a

m

a

a

 

i=3; j=4 болғанда 

0

44

3

34

1

34









a

m

a

a

 

i=3; j=5 болғанда 

41604

.

1

45

3

35

1

35









a

m

a

a

 

Табылған  элементтерден  жаңа  матрица  құрып  кестенің    II-бөлігіне 

толтырамыз. 

3  Жаңа  матрицадан  модулі  бойынша  үлкен  элементті  табамыз:  ол  - 

17077

.

1

1

33



a

. 

3-жолды 

басшы  жол  деп  аламыз  да  жаңа 

көбейткіштерді анықтаймыз: 

     

11862

,

0

17077

,

1

13888

,

0

09353

,

0

17077

,

1

10950

,

0

1

33

1

23

2

1

33

1

13

1













a

a

m

a

a

m

 

4  2-пункттегі  сияқты  (3.17)  –  формула  бойынша  басшы  бағанда 

орналасқан 

басшы 

элементтен 

өзге 

элементтерді 

нөлге 

айналдырамыз  да  қалған  жаңа  элементтерді  тауып  тағы  жаңа 

матрица құраймыз: 

5 

19746

.

1

08111

.

0

07381

.

1

2

15

2

12

2

11







a

a

a

       

20639

.

1

11170

.

1

10492

.

0

2

25

2

22

2

21







a

a

a

 

6  Осы  жаңа  матрицадан  модулі  бойынша  үлкені 

11170

.

1

2

22



a

.  Тағы 

көбейткішті есептейміз: 

07296

,

0

2

22

2

12

1





a

a

m

. 

7  2-пункттегі  сияқты  (3.17)  –  формула  бойынша  басшы  бағанда 

орналасқан 

басшы 

элементтен 

өзге 

элементтерді 

нөлге 

айналдырамыз  да  қалған  жаңа  элементтерді  тауып  тағы  жаңа 

матрица құраймыз: 

         

06616

,

1

10492

,

0

07296

,

0

07381

,

1

3

12









a

; 

10944

,

1

3

15



a

 

жүктеу/скачать 467,54 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: