Тура әдісте жүйенің шешімі арифметикалық амалдардың ақырлы санымен шектелетіндігімен сипатталады. Тіке әдіске жататындар: Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі)

(3.32)  –  жүйенің  оң  жағы  n  -  өлшемді  векторлық  кеңістікте  x(x

1

,x

2

,…,x

n

) 

нүктесін  осы  кеңістіктің    y(y

1

,y

2,…,

y

n

)  нүктесіне  айналдыратын  бейнелеу 

болып табылады: 

n.

1,2,...,

i

   

,

y

   

:

1











n

j

i

j

ij

i

x

F





 

 

 

 

 

 

(3.33) 

(3.32) – жүйені қолданып, бастапқы 

)

,...,

,

(

)

0

(

)

0

(

2

)

0

(

1

)

0

(

n

x

x

x

x

нүктені таңдап алып n - 

өлшемді  векторлық  кеңістікте  нүктелердің  итерациялық  тізбегін  құруға 

болады:  

,...

,...,

,

 

,

)

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

n

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.34) 

(3.34)  –  итерациялық  тізбек  жинақты  болса,  оның  шегі  (3.32)  итерациялық 

жүйенің  шешімі  болады.  Тізбектің  жинақтылығын  дәлелдеу  үшін 

функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек: 

 

1-анықтама: 

Х жиынының х және у нүктелерінің ара қашықтығын анықтайтын  

)

,

(

y

x



функциясы метрика деп аталады, егер төмендегі шарттар  

орындалса: 

1 

0

)

,

(



y

x



; 

2 

0

)

,

(



y

x



, егер х=у болғанда ғана; 

3 

)

,

(

)

,

(

x

y

y

x







; 

4 

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

z

z

x

y

x











; 

 

2-анықтама:  

 



 Метрикасы енгізілген жиын метрикалық кеңістік деп аталады. 

 

3-анықтама:  

Егер  F  толық  метрикалық  кеңістікте  анықталған  қысыңқы  бейнелеу 

болса: 

 

)

,

(

)

;

(

y

x

Fy

Fx











 

 

 

 

 

 

 

 

(3.35) 

онда  x=Fx  болатын  жалғыз  қозғалмайтын  нүкте  табылады.  Бұл 

жағдайда  F  бейнелеуіне  құрылған  итерациялық  тізбек  кез  келген 

бастапқы  жуықтауларда  х  нүктесіне  жинақталады.  Мұндағы: 

1

0







, 

E

y

x



,

, Fx, Fy- х,у нүктелерінің бейнелері. 

4-анықтама:     (қысыңқы бейнелеу принципі) 

Сызықты  алгебралық  теңдеулер  жүйесін  төмендегі  үш  метрикалық 

кеңістікте қарастыруға болады: 

 

i

i

n

i

y

x

y

x









1

1

max

)

,

(



 

 

 

 

 

 

 

 

(3.36) 

 









n

i

i

i

y

x

y

x

1

2

)

,

(



  

 

 

 

 

 

 

 

(3.37) 

 









n

i

i

i

y

x

y

x

1

2

3

)

(

)

,

(



   

 

 

 

 

 

 

(3.38) 

(3.36) – метрикалық кеңістікте: 

 

1

max

1

1













n

j

ij

n

i





    

 

 

 

 

 

 

 

(3.39.) 

теңсіздігі немесе (3.37) – метрикалық кеңістікте: 

1

max

1

1













n

i

ij

n

j





   

 

 

 

 

 

 

 

(3.40) 

теңсіздігі немесе (3.38) -  метрикалық кеңістікте: 

 

1

1

1

2





 





n

i

n

j

ij





   

 

 

 

 

 

 

 

(3.41) 

теңсіздіктерінің  ең  болмағанда  біреуі  орындалса,  онда  (3.33)  – 

теңдеумен  берілген  F  бейнесі  қысыңқы  бейнелеу  болады  және 

итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауларда өзінің жалғыз 

шешіміне жинақталады. 

(3.32)  –  түріне  келтірілген  итерациялық  жүйеге  карапайым  итерация 

әдісін қолданбас бұрын жүйенің матрицасының диагональды элементтерінің 

басым  болғаны  дұрыс.  Яғни 

1,2,...

i

  

,

1









n

j

ij

ii





  .  Және  коэффициенттер  1-

ден  кіші  болуы  керек: 

1



ij



.  Бұл  шарттың  орындалуы  қысыңқылық 

шарттарды қанағаттандыратын қажетті шарт. Ал жеткіліктілік шарт (3.39)  – 

(3.41.)  шарттардың  ең  болмағанда  біреуі  орындалуы  керек.  Егер 

диагональдық басымдылық болмаса  жүйеге  қандай да  бір  ауыстырулар  мен 

алмастырулар, арифметикалық амалдар қолдануға болады.  

 

Әдісті  қолдануға  болады  деген  тұжырымға  келгеннен  кейін  өзіміз 

бастапқы жуықтауларды таңдап алып итерациялық процесс құрамыз: 

   

0,1,2,...

k

    

,

  

...

...

...

...

...

3

3

2

2

1

1

1

3

3

3

33

2

32

1

31

1

3

2

2

3

23

2

22

1

21

1

2

1

1

3

13

2

12

1

11

1

1













































































n

k

n

nn

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

n

k

k

k

k

k

n

n

k

k

k

k

n

k

n

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

х

x









































  

 

(3.41) 

Егер е- дәлдікке дейін шешім табу керек болса, онда есептеу процесін 

 















1

)

,

(

)

(

)

1

(

k

k

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.42) 

немесе  









)

(

)

1

(

k

i

k

i

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.43) 

шарттары  орандалғанша  жалғастырады.  Мұндағы 

)

,

(

)

(

)

1

(

k

k

x

x





-  евклид 

кеңістігіндегі  соңғы,  көрші  жуықтаулардың  ара  қашықтығы.  Бастапқы 

жуықтаулар ретінде практикада көбіне жүйенің бос мүшелері алынады. 

1- мысал: 

 

-7х

1

+4х

2 

- 4х

3

=-8 

2х

1 

- 6х

2 

-  х

3

=-5 

-2х

1 

-  х

2 

+6х

3

=3 

Бұл  жүйе  матрицасында  диагональдық  басымдылық  бар.  (3.39)  –  (3.41)  – 

шарттардың орындалуын ұйымдастыру керек. Ол үшін жүйенің матрицасын 

және бос мүшелер векторын 







































6

1

0

0

0

6

1

0

0

0

7

1

Н

 матрицасына көбейтейік: 















































1

6

1

3

1

6

1

1

3

1

7

4

7

4

1

А

Н

.       

)

3

1

-

  

;

6

5

  

;

7

8

(





b

Н

 











































3

1

6

1

3

1

6

5

6

1

3

1

7

8

7

4

7

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Бұл  жүйе  үшін  жинақтылық  шарттар  орындалады.  Сондықтан  жүйені 

итерациялық түрде жазамыз: 





































3

1

6

1

3

1

6

5

6

1

3

1

7

8

7

4

7

4

2

1

3

3

1

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Итерацияның  бастапқы  жуықтаулары  ретінде  бос  мүшелерін  алайық: 

3

1

   x

;

6

5

   x

;

7

8

0

3

0

2

0

1









x

. Келесі жуықтаулар мына формуламен есептеледі: 











































3

1

6

1

3

1

6

5

6

1

3

1

7

8

7

4

7

4

2

1

1

3

3

1

1

2

3

2

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 , k=0,1,2,…,n 

 

2-мысал: 































(III)

      

56

.

55

37

.

8

99

.

7

92

.

3

(II)

      

44

.

6

27

.

0

22

.

5

04

.

8

(I)

      

41

.

14

61

.

11

21

.

4

34

.

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Мұндағы  теңдеулерді  қолдануға  оңай  болуы  үшін  рим  цифрларымен 

белгіледік. Диагональдық басымдылықты алу үшін (I) – теңдеудің орнына (II) 

– теңдеуді, ал 2-ші теңдеу етіп  (I+II) – теңдеуін жазамыз,  (III)  – теңдеудің 

орнына  (I ) теңдеуді жазамыз: 































(III)

      

41

.

14

61

.

11

21

.

4

34

.

2

(II)

       

97

,

69

24

,

3

20

,

12

26

,

6

(I)

       

44

.

6

27

.

0

22

.

5

04

.

8

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Бұл  жүйеде  диагональдық  басымдылық  бар.  Сондықтан  итерациялық  түрге 

келтіру үшін жүйенің әр теңдеуін мүшелеп диагональдық элементіне бөлеміз 

де коэффициенті 1-ге тең белгісіздер арқылы өрнектейміз: 

 































2412

.

1

3626

.

0

2016

.

0

7352

.

5

2656

.

0

5131

.

0

8010

.

0

0336

.

0

6493

,

0

2

1

3

2

1

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Жинақтылығын зерттейміз: 

1-ші метрикалық кеңістікте:  

1

1.0119

0.2992)

 

1.0119;

 

;

7147

.

0

max(

1

2992

.

0

2656

.

0

0336

.

0

1

0119

.

1

3626

.

0

6493

.

0

1

7147

.

0

2016

.

0

5131

.

0

1

1

1









































 

жинақтылық шарты бұл кеңістікте орындалмайды екен. 

2-ші метрикалық кеңістікте: 

1

0.7787

0.5642)

 

0.7787;

 

;

6829

.

0

max(

1

5642

.

0

3626

.

0

2016

.

0

1

7787

.

0

2656

.

0

5131

.

0

1

6829

.

0

0336

.

0

6493

.

0

2

2

2









































 

жинақтылық шарты орындалды. 

3-ші метрикалық кеңістікте:  

1

96

.

0

3626

.

0

2016

.

0

2656

.

0

5131

.

0

0336

.

0

6493

.

0

2

2

2

2

2

2

3





















 

Жинақтылық  шарты  орындалатыны  байқалды,  яғни  бастапқы  жуықтаулар 

ретінде бос мүшелерді алып итерациялық процесс құрамыз: 

8010

.

0

)

0

(

1





x

; 

7352

.

5

)

0

(

2





x

;  

2412

.

1

)

0

(

3





x

; 





































2412

.

1

3626

.

0

2016

.

0

7352

.

5

2656

.

0

5131

.

0

8010

.

0

0336

.

0

6493

,

0

2

1

1

3

2

1

1

2

3

2

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

k=0,1,2,… 















1

1

k

n

k

n

x

x

 шарты орындалғанша итерация жүреді. 

жүктеу/скачать 467,54 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: