Тура әдісте жүйенің шешімі арифметикалық амалдардың ақырлы санымен шектелетіндігімен сипатталады. Тіке әдіске жататындар: Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі)

 

2.4 Зейдель әдісі 

 

(3.31)–  жүйе  (3.32)  –  итерациялық  түрге  келтірілсін.  Бұл  жүйені 

қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы 

белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын 

еді.  Белгілі  бастапқы  жуықтаудың  элементтерін  x

1

,  x

2

,  …  ,  x

n

  деп,  ал 

есептелетін келесі жуықтауларды y

1

, y

2

, … , y

n

 деп белгілейік. Сонда есептеу 

формулалары келесі түрге көшеді: 

n.

1,2,...,

i

   

,

1











n

j

i

j

ij

i

x

y





 

 

 

 

 

 

 

(3.46) 

Зейдель  әдісінің  негізгі  идеясы  итерациялық  процестің  әр  қадамында  y

i

-дің 

мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y

1

, y

2

, … , y

i-1

 мәндері 

қолданылады  да  (3.46)–  ны  ашып  жазсақ,  Зейдель  формуласы  келесідей 

болады: 





















































n

j

n

n

nn

j

nj

n

n

j

j

j

n

j

j

j

x

y

y

x

у

y

x

y

1

1

2

2

1

21

2

1

1

1

1

...

















 

 

 

 

 

 

 

(3,47 ) 

(3,47)–  итерациялық  процесінің  жинақтылығы  үш  метрикалық  кеңістікте 

мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі: 

i

i

n

i

y

x

y

x









1

1

max

)

,

(



 кеңістікте 

1

max

1

1













n

j

ij

n

i





 шарты  

 

 

 

 

 

 

(3.48) 









n

i

i

i

y

x

y

x

1

2

)

,

(



 кеңістікте 

1

max

1

1













n

i

ij

n

j





 шарты  

 

 

 

 

 

 

(3.49) 









n

i

i

i

y

x

y

x

1

2

3

)

(

)

,

(



кеңістікте 

1

1

1

2





 





n

i

n

j

ij





шарты   

 

 

 

 

 

 

(3.50) 

Егер  бұл  шарттардың  біреуі  орындалса,  (3.47)–  итерациялық  процесс  кез 

келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады. 

 

Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған 

жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы 

түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген 

матрицаға көбейтеді:  

А

Т

*А*х=A

T

*b  

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.51) 

Белгілеулер енгіземіз: 

A

T

*A=C 

A

T

*b=D 

Сонда  

Cx=D  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.52) 

(3.52)  –  жүйені  қалыпты  жүйе  деп  атайды.  Қалыпты  жүйенің  элементтері 

симметриялы  және  диагональды  элементтері  нөлден  өзгеше  болады. 

Қалыпты  жүйені  алдында  қарастырған  амалдарды  қолданып  (3.47)– 

итерациялық жүйеге келтіруге болады.  

 

(3.52)  –  қалыпты  жүйеге  эквивалентті  (3.47)–  келтірілген  итерациялық 

жүйе  үшін  Зейдельдің  итерациялық  процесі  өзінің  жалғыз  шешіміне  кез 

келген бастапқы жуықтауларда жинақталады. 

Егер  е  дәлдік  берілсе,  итерациялық  әдіс 







i

i

y

x

,  i=0,1,2,…  шарты 

орындалғанға дейін жалғасады. 

1-мысал: 





























5

3

4

2

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Берілген  жүйе  үшін  матрицасын,  транспонирленген  матрицасын  құрып, 

жоғарыда айтылған әрекеттерді орындаймыз: 























1

3

1

1

1

2

1

1

1

A

,    























5

4

3

b

,    























1

1

1

3

1

1

1

2

1

T

A

. 



























3

5

4

5

11

6

4

6

6

A

A

C

T

.      



























12

22

16

b

A

D

T

. 

Сонымен анықталған матрица бойынша қалыпты жүйе құраймыз: 





























12

3

5

4

22

5

11

6

16

4

6

6

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Итерациялық түрге келтіреміз: 



































4

6667

.

1

3333

.

1

2

4545

.

0

5455

.

0

6667

.

2

6667

.

0

2

1

3

3

1

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Бұл  жүйе  үшін  (3.48)–  (3.50)–  жинақтылық  шарттары  орынды.  Ендеше 

бастапқы жуықтау таңдаймыз: х

1

=1,  х

2

=1,   х

3

=1. 

Зейдель процесі келесідей жазылады: 



































4

6667

.

1

3333

.

1

2

4545

.

0

5455

.

0

6667

.

2

6667

.

0

2

1

3

3

1

2

3

2

1

y

y

y

x

y

y

x

x

y

 

Есептеу 







i

i

y

x

, i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.  

2.5 Қуалау әдісі 

Математикалық  физиканың  есептері  көбінде  үш  диагональді  сызықты 

алгебралық  теңдеулер  жүйесінің  шешімін  табуға  шектеледі,  үш  диагоналді 

сызықты  алгебралық  теңдеулер  жүйесінің  теңдеулерінде  тек  қана  үш 

айнымалылардың  коэффициенттері  нөлге  тең  емес,  қалған  коэффициенттер 

нөлге тең.  

 

 

.

,

1

,....,

3

,

2

,

1

,

2

1

2

1

1

1

0

1

1



































n

n

j

j

j

j

j

j

j

y

y

y

y

n

j

f

y

b

y

c

y

a

 

(18) 

 

Сондай жүйенің матрицасы үш диагоналді: 

 

































































































































































2

1

1

1

1

1

0

2

1

1

1

1

1

1

1

.

.

.

.

1

0

0

0

0

0

...

0

0

0

...

0

0

0

0

0

0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0

...

...

0

0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0

0

0

0

0

...

0

0

0

0

0

0

0

...

0

1









n

i

n

n

i

n

n

n

i

i

i

f

f

f

y

y

y

y

y

b

c

a

b

c

a

b

c

a

  

 

Үш  диагоналді  сызықты  алгебралық  теңдеулер  жүйесін  шешу  тиімді 

әдісі болып қуалау әдісі табылады. 

 

Қуалау әдісінің бірінші кезеңі – тура қуалау.  Қуалау коэффициенттері 

келесі формулалармен табылады: 

 

 

1

,....,

2

,

1

,

,

1

1

1













n

j

a

c

b

j

j

j

j

j









. 

  (19) 

 

1

,....,

2

,

1

,

,

1

1

1















n

j

a

c

f

a

j

j

j

j

j

j

j











 

 

Қуалау әдісінің екінші кезеңі – кері қуалау.  Кері бағытта функцияның 

мәндері табылады: 

 

 

0

,

1

,.....,

2

,

1

,

,

1

1

1

1

2

2

2























n

n

j

y

y

y

j

j

j

j

n

n

n















. 

(20) 

 

Қуалау  әдісін  қолдану  үшін  әдістің  жинақтылығы  болуы  керек. 

Жиынактылық шарты : 

 

 

1

,

1

;

1

.....,

,

2

,

1

,

,

0

,

0

2

1





















n

j

b

a

c

b

a

j

j

j

j

j

. (21) 

 

Мысал 4 

Жүйені  қуалау әдісімен шеш.  

 

 

























































































;

1

,

3

2

,

0

;

2

,

3

4

,

2

2

,

1

;

2

,

4

6

,

2

3

,

1

;

2

,

0

2

,

1

8

,

3

5

,

2

;

1

,

4

5

,

1

9

,

2

2

,

1

;

3

,

2

3

,

1

8

,

2

2

,

1

;

1

5

,

1

3

,

3

1

,

1

;

2

1

,

1

3

,

2

;

1

,

0

2

,

0

1

,

1

8

7

8

7

6

7

6

5

6

5

4

5

4

3

4

2

2

3

2

1

2

1

0

1

0

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

 

 

Шешім: 

Қуалау  әдісін  қолдану  үшін  әдістің  жинақтылығы  болуы  керек. 

Жиынактылық шарты орындалады: 

 

1

,

1

;

1

.....,

,

2

,

1

,

,

0

,

0

2

1





















n

j

b

a

c

b

a

j

j

j

j

j

. 

 

Негізгі  диагональ  элементтері  басқа  элементтер  қосындысынан  кем 

емес, мысал 2,3>1+1,1.

 

Сонымен, қуалау әдісін қолдануға болады. 

 



















































































































































































1

,

3

2

,

3

2

,

4

2

,

0

1

,

4

3

,

2

1

2

09

,

0

1

2

,

0

0

0

0

0

0

0

0

1

4

,

2

2

,

1

0

0

0

0

0

0

0

1

6

,

2

3

,

1

0

0

0

0

0

0

0

2

,

1

8

,

3

5

,

2

0

0

0

0

0

0

0

5

,

1

9

,

2

2

,

1

0

0

0

0

0

0

0

3

,

1

8

,

2

2

,

1

0

0

0

0

0

0

0

5

,

1

3

,

3

1

,

1

0

0

0

0

0

0

0

1

,

1

3

,

2

1

0

0

0

0

0

0

0

18

,

0

1

8

7

6

5

4

3

2

1

0

y

y

y

y

y

y

y

y

y

. 

 

4 кестеде қуалау әдісін қолданудың натижесі көрсетілген. 

 

 

4 - кесте. Қуалау әдісін қолдану. 

 

i 

a

i

 

c

i

 

b

i

 

f

i

 

α

i

 

β

i

 

y

i

 

0  1,00  -0,18  0,00  -0,09 

- 

- 

0,16 

1  1,00  -2,30  1,10  2,00 

-0,18 

0,09 

-0,39 

2  1,10  -3,30  1,50  -1,00 

-0,52 

-0,99 

-1,15 

3  1,20  -2,80  1,30  -2,30 

-0,55 

0,76 

3,49 

4  1,20  -2,90  1,50  4,10 

-0,61 

0,65 

-4,68 

5  2,50  -3,80  1,20  0,20 

-0,69 

-2,25 

3,53 

6  1,30  -2,60  1,00  -4,20 

-0,58 

2,61 

-1,58 

7  1,20  -2,40  1,00  -3,20 

-0,54 

0,44 

3,73 

8  0,00  -0,20  1,00  3,10 

-0,57 

1,53 

-3,85