Уравнения математической физики: Методические указания
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных
жүктеу/скачать 1,22 Mb.
|
ypravl matemat fiziki 1
| Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:
. (2.1) Если А, В, С – функции от x, y, u, , , то уравнение квазилинейное. Если А, В, С – функции от x, y, а функция , где D, E, K – функции от , ; – возмущение, то уравнение (2.1) – линейное. Если , то (2.1) – линейное однородное, если , то (2.1) – линейное неоднородное. Функция , которая обращает уравнение (2.1) в тождество, называется его решением. 3. ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пусть (2.1) – линейное уравнение. Обозначим , где А, В, С в общем случае зависят от x, y. Тогда называется дискриминантом уравнения (2.1). Если , , , то уравнение (2.1) называется соответственно уравнением гиперболического, параболического или эллиптического типа в точке . Если , , для любой точки из области R2, то уравнение (2.1) называется соответственно уравнением гиперболического, параболического или эллиптического типа в области . В качестве примеров рассмотрим: . В данном уравнении , , , , то есть это уравнение гиперболического типа, описывающее колебательные процессы. . Видим, что , , . Таким образом перед нами уравнение параболического типа, описывающее процессы теплопроводности и диффузии. 3. . Здесь , , , . Таким образом перед нами уравнение эллиптического типа, описывающее состояния системы, которые не зависят от времени. В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение: . В этом уравнении , , , . Дискриминант зависит от , . Тогда: а) если , то есть , то имеем уравнение гиперболического типа; б) если , то есть , то имеем уравнение параболического типа; в) если , то есть , то имеем уравнение эллиптического типа. Графически случаи а), б), в) в области можно представить следующим образом: 4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ТИПА УРАВНЕНИЯ Введём новые независимые переменные: (4.1) Якобиан преобразования (4.1) будет иметь вид: , где обозначено, например, . Если , то преобразование называется невырожденным. Докажем, что при невырожденном преобразовании тип уравнения (2.1) не меняется. Доказательство: Считаем все производные: , , , , . Здесь учтено, что для непрерывной на области функции . Подставим найденные производные в уравнение (2.1): , (4.2) , , . Тогда для дискриминанта уравнения (4.2) получаем: . Видим, что знак уравнения (4.2) и знак уравнения (2.1) одинаковый. Поэтому тип уравнения не изменился: 1) , гиперболический Þ ; 2) , параболический Þ ; 3) эллиптический Þ . Утверждение доказано. 5. УРАВНЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК Рассмотрим уравнение вида: . (5.1) Данное уравнение является уравнением в частных производных первого порядка. Вместе с уравнением (5.1) рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение: . (5.2) Его формальное решение для дифференциала имеет вид: , , (5.2 а) . (5.2 б) В свою очередь решение уравнений (5.2 а) и (5.2 б) находим в виде общих интегралов: . жүктеу/скачать 1,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|