Уравнения математической физики: Методические указания


Пример 5. Найти решение уравнения , если , . Решение



бет5/6
Дата07.02.2022
өлшемі1,22 Mb.
#87778
түріМетодические указания
1   2   3   4   5   6
Байланысты:
ypravl matemat fiziki 1

Пример 5. Найти решение уравнения


, если , .


Решение:
Здесь , , . Тогда согласно (12.8) получаем:


.


Пример 6. Найти решение уравнения


, если , .


Решение:

Здесь , , . Тогда согласно (12.8) получаем:




.


Пример 7. Найти форму струны, определяемой уравнением



в момент времени , если , .




Решение:

Согласно (12.8) получаем:




.

В момент времени имеем:




,

то есть струна совпадает с биссектрисой I и III квадрантов.


13. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА


НА ОТРЕЗКЕ [0, l]

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения гиперболического типа (уравнение однородное, граничные условия однородные).


В этом случае для свободных колебаний струны имеем:


, , ; (13.1)


граничные условия (13.2)


начальные условия (13.3)

Условия (13.2) означают, что оба конца жёстко закреплены. Например, гитарная струна.


Первая строка (13.3) задаёт вид струны в начальный момент времени, вторая строка (13.3) задаёт скорость точек струны в начальный момент времени.
Частное решение (13.1) ищем в виде произведения множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной:


. (13.4)

Поиск решения уравнения (13.1) в виде (13.4) называют методом Фурье.


Подставим (13.4) в (13.1):


,

или
.


Здесь заметим, что согласно нижеследующим построениям неопределённость дроби вида при снимается и равна .


Две функции разных переменных тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда они обе константы. Тогда получаем:


, (13.5)
. (13.6)

Подставим (13.4) в (13.2):




,
.

Чтобы получить нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения вида (13.4), удовлетворяющие граничным условиям (13.2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (13.6), удовлетворяющие граничным условиям




, . (13.7)

Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра (собственные значения), при которых существуют нетривиальные решения (собственные функции) уравнения (13.6), удовлетворяющие граничным условиям (13.7).


Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля.
Составим характеристическое уравнение .
1) Пусть , тогда .
- общее решение уравнения (13.6). Подставляя в (13.7), имеем , (длина струны l отлична от нуля).
Значит - тривиальное решение, которое нас не интересует.
2) Пусть , , тогда .
В результате - общее решение уравнения (13.6). Решение содержит гиперболические функции, которые определяются следующим образом:
, . Подставляя в (13.7), находим:


,


(т. к. ).

В силу того, что , находим . Значит , т. е. опять тривиальное решение, которое нас не интересует.


3) Пусть , , тогда .
Как известно, в этом случае (при ): - общее решение уравнения (13.6). Подставляя в (13.7), получаем:


,


(т. к. ), берём , n=1,2,….

Отсюда найдём: , , ( , т. к. - любое).


Теперь найдём функцию .


Решим уравнение (13.5): .


Запишем характеристическое уравнение (при частном решении вида ~ )




, .

Общее решение имеет вид:




,

где - и - произвольные постоянные.


Подставим найденные и в (13.4):


, .

В силу линейности и однородности уравнения (13.1) всякая конечная сумма решений также будет решением. То же справедливо и для функционального ряда:




. (13.8)

Если ряд (13.8) равномерно сходится (см. признак Вейерштрасса в курсе математического анализа), то его можно почленно дважды дифференцировать по и . В этом случае он, также как и его составляющие , удовлетворяет уравнению (13.1) и условиям (13.2), (13.3).


Подставляя (13.8) в (13.3), находим:


,


.

Предположим, что функции f и F представимы в виде рядов по (в данном случае) синусам, тогда в силу теоремы единственности разложения в ряд найденные ряды и есть ряды этих функций по синусам (неполные тригонометрические ряды Фурье).


Коэффициенты разложения (коэффициенты ряда Фурье) находим следующим образом:







Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет