«Увидеть и понять проблему – наполовину решить её, если же не видишь проблему, это значит, что она в тебе самом».
Актуальная проблема нашей школы – «не потерять», «не упустить» учащихся с низкими учебными возможностями.
Особенности неуспевающих учащихся
низкий уровень знаний, как следствие этого низкий уровень интеллектуального развития
отсутствие познавательного интереса
не сформированы элементарные организационные навыки
учащиеся требуют индивидуального подхода с психологической и педагогической (в плане обучения) точки зрения
Особенности неуспевающих учащихся
нет опоры на родителей как союзников учителя - предметника
дети, в основном, из асоциальных семей
отсутствие адекватной самооценки со стороны учащихся
частые пропуски уроков без уважительной причины, что приводит к отсутствию системы в знаниях и как следствие этого - низкий уровень интеллекта
Отставание ученика в усвоении конкретного учебного предмета можно обнаружить по следующим признакам:
1. Низкий уровень умственного развития.
2. Несформированность учебных навыков.
3. Дефицит внимания с гиперактивностью.
4. Отсутствие познавательного интереса.
Отставание ученика в усвоении конкретного учебного предмета можно обнаружить по следующим признакам:
5. Несформированность произвольной сферы.
6. Конфликтные отношения
7. Низкий познавательный интерес
8. Низкий уровень развития словесно-логического мышления
9. Низкая работоспособность
Чтобы предотвратить неуспеваемость, надо своевременно выявлять образовавшиеся пробелы в знаниях, умениях и навыках учащихся и организовать своевременную ликвидацию этих пробелов.
Нужно установить правильность и разумность способов учебной работы, применяемых учащимися, и при необходимости корректировать эти способы. Нужно систематически обучать учащихся общеучебным умениям и навыкам.
Нужно так организовать учебный процесс, жизнь учащихся в школе и в классе, чтобы вызвать и развить у учащихся внутреннюю мотивацию учебной деятельности, стойкий познавательный интерес к учению.
Как помочь слабоуспевающему ученику:
Для закрепления необходимо более длительное время и больший объем решаемых задач.
Учитель для себя и для ученика должен сформулировать минимум знаний и навыков, который должен усвоить ученик.
Как повысить работоспособность:
Разнообразить виды деятельности.
Проветривать кабинет.
Проводить физминутки.
Всегда надо помнить о соблюдении принципа необходимости и достаточности.
Виды работ со слабоуспевающими учениками
Карточки для индивидуальной работы.
Задания с выбором ответа.
Деформированные задания.
“Разрезные” теоремы.
Перфокарты.
Карточки - тренажеры.
Творческие задания.
Карточки для индивидуальной работы
Тема: Решение линейных уравнений
Пример. Решите уравнение
2(0,4х – 3)=2
0,8х – 6 = 2
0,8х = 2 + 6
0,8х = 8
х = 8 : 0,8
х = 10
Ответ: х = 10
Задание: Решите уравнение 0,1(х + 2) = 0,7
Задания с выбором ответа
Задание 1
На 3 см
больше
5см
Варианты ответа:
а) 21 см
б) 22 см
в) 20 см
,
100
Варианты ответа:
а) 100°
б) 60°
в) 80°
°
?
Деформированные задания
Закончите предложение: «Число делится на 3, если сумма его цифр…»
Вставьте пропущенные буквы.
ПРЯМ…УГОЛЬНЫЙ ПАРА…Е…ЕПИПЕД
Вставьте нужный символ или нужный знак <, >, =.
□٠(5 +∆) … □٠5 +□ ٠∆
2٠(15 + 92) … 2٠15 + 2٠92
(☼ +☻) ٠2 = … ☼ + 2٠☻
2٠( 15 – 9) … 2٠18 + 2٠9
Карточки - тренажеры
Обратите
обыкновенные дроби
десятичные
2⅖
● ● ● ●
4
3
5
3
4
4
8
1
2
Ответы
2,4 0,2 0,5 0,25
● ● ● ●
4,5 0,5 0,75 0,6
● ● ● ●
● ● ● ●
«Разрезные теоремы»
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны
Доказательство: Так как угол 1 = 2 (по условию) и 2 =3 (как вертикальные), то 1 = 3. Но 1 и 3 – Накрест лежащие, значит а в.
а
в
с
2
3
4
1
Творческие задания
Поиск различных способов решения задач.
Составление кроссвордов.
Сочинение математических сказок, игр.
Составление задач по данному условию.
Учитель должен:
Знать психическое развитие ребёнка
Стремиться понять и принять каждого ребёнка
Создать спокойную обстановку и благоприятный психологический климат на уроке
Учитель должен:
Проявлять
- разумную требовательность - неиссякаемое терпение - справедливую строгость - веру в возможности ученика
Учитель должен:
Уметь встать на позиции ученика
Сказать НЕТ насмешливому тону!
Уметь вести непринуждённый диалог
Стремиться к внешней занимательности
Учитель должен:
Использовать средства невербального общения (опорные сигналы, рисунки, таблицы, схемы, план)
Учить работать со словарями и другим справочным материалом
Учитель должен:
В обучении применять
- опережающее обучение - различные формы групповой работы - взаимоопрос, самоконтроль - конспекты-блоки по разным темам, использование их на разных этапах обучения
Учитель должен:
При формулировании целей урока включать как приоритетный коррекционно– развивающий аспект
Рационально распределять учебный материал (трудное – сначала!)
Учитель должен:
Применять частую смену видов деятельности на уроке
Многократно проговаривать и закреплять материал урока
Стремиться к алгоритмизации деятельности
Правила, разработанные психологами:
Не ставить слабого в ситуацию неожиданного вопроса и не требовать быстрого ответа на него, давать ученику достаточно времени на обдумывание и подготовку.
Желательно, чтобы ответ был не в устной, а в письменной форме.
Правила, разработанные психологами:
Нельзя давать для усвоения в ограниченный промежуток времени большой, разнообразный, сложный материал, нужно постараться разбить его на отдельные информационные куски и давать их постепенно, по мере усвоения.
Правила, разработанные психологами:
Не следует заставлять таких учеников отвечать на вопросы по новому, только что усвоенному материалу, лучше отложить опрос на следующий урок, дав возможность ученикам позаниматься дома.
Правила, разработанные психологами:
Путём правильной тактики опросов и поощрений (не только оценкой, но и замечаниями типа «отлично», «молодец», «умница» и т. д.) нужно формировать у таких учеников уверенность в своих силах, в своих знаниях, в возможности учиться. Эта уверенность поможет ученику в экстремальных стрессовых ситуациях сдачи экзаменов, написания контрольных работ и т. д.
Правила, разработанные психологами:
Следует осторожнее оценивать неудачи ученика, ведь он сам очень болезненно к ним относится.
Во время подготовки учеником ответа нужно дать ему время для проверки и исправления написанного.
Следует в минимальной степени отвлекать ученика, стараться не переключать его внимание, создавать спокойную, не нервозную обстановку.
Дифференцированный подход
При закреплении.
При проверке домашнего задания.
При самостоятельной работе.
Создать на уроке ситуацию успеха:
помочь сильному ученику реализовать свои возможности в более трудоемкой и сложной деятельности;
слабому – выполнить посильный объем работы.
Обучение в сотрудничестве
Позволяет отстающим ученикам чувствовать себя полноправными членами команды и стимулирует желание учиться.
Разнообразные формы и жанры урока
урок-игра
урок-спектакль
урок-путешествие
урок-детектив
урок-сказка
урок-концерт
урок-картина
“Блиц уроки”
Проектное обучение
Метод проектов рассматривается как способ актуализации и стимулирования познавательной деятельности учащихся.
Геометрия треугольника
Треугольник АВС
Треугольник АВС
А,В,С – вершины
- углы
АВ, ВС, АС – стороны
Р=АВ+ВС+АС
Определение
треугольника
А
В
С
А
В
I. По сторонам
I. По сторонам
Разносторонний
АС>АВ>ВС
Классификация
треугольников
А
С
В
Равнобедренный
Равнобедренный
АВ=ВС
АС- основание
А
В
С
Равносторонний
Равносторонний
АВ=ВС=АС
А
В
С
II. По углам
II. По углам
Остроугольный
- острые углы
А
В
С
Прямоугольный
Прямоугольный
угол А - прямой
А
В
С
тупоугольный
тупоугольный
угол С - тупой
А
В
С
Соотношение между сторонами и углами
Соотношение между сторонами и углами
Неравенство треугольника
Любая сторона треугольника
меньше суммы двух
сторон, но больше
модуля их разности:
Произвольный
треугольник
в
а
с
в
с
а
Сумма углов треугольника равна 1800
Сумма углов треугольника равна 1800
Против большой стороны в треугольнике лежит больший угол:
b
c
a
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
b
c
a
Теорема косинусов:
Теорема косинусов:
b
c
a
Теорема синусов:
Теорема синусов:
b
c
a
R
Это отношение равно 2R, где R – радиус описанной окружности
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
a
b
b1
a1
по двум равным углам
по двум равным углам
По трем пропорциональным сторонам:
По трем пропорциональным сторонам:
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
Формула Герона
Через три стороны:
где
а
а
b
с
Теорема Пифагора
Биография Пифагора
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера
Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
История теоремы Пифагора
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
3 ² + 4 ² = 5²
было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
Египетский треугольник
Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом.
Бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечёвку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (32+42=52). В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник называют египетским.
Следовательно, DАВС = DА1В1С1 (по третьему признаку)
DАВС - прямоугольный, и РA=900.
Вывод:
Доказано утверждение, обратное теореме Пифагора - если
в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей,
то этот треугольник - прямоугольный.
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного
треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах".
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."
Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой с.
Докажем, что a2+b2=c2
Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b
Площадь этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2 a*b, и квадрата со стороной с, поэтому S=4*1/2ab+c2=2ab+c2.
Таким образом (a+b)2=2ab+c2, откуда с2=a2+b2.
Теорема доказана
A
B
C
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,— по два. Теорема доказана.
2. Простейшие доказательства теоремы
Геометрическая интерпретация теоремы Пифагора.
.
2. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна a + c.
В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.
3. Доказательство индийского математика Бхаскари.
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке. Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c - a, тогда:
b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 =
= 2*a*c + c2 - 2*a*c + a2 = a2 + c2
Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.
Применение теоремы
1. Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом,
d=2a,
откуда:
d 2 = 2a ².
2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем
d² = a ²+b²
Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды).
Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата (1/2*2a). Вследствие этого имеем:
s2 = h 2+(1/4)a.
Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней.
h12= h2 +(1/4)a2.
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост:
из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг,
т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4, а тогда становится ясным и положение ее центра.
Применение теоремыПифагора при строительстве зданий
По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)2=(b/4)2+(b/4-p)2
или
b2/16+b*p/2+p2=b2/16+b2/4-b*p+p2,
откуда
b*p/2=b2/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p = b /4, p = b/6.
У египтян была известна задача о лотосе
"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну"
Задача древних индусов, сформулированная в виде стихотворения, взятая из книги Я.И.Перельмана "Занимательная геометрия".
