Условные экстремумы и функция Лагранжа
жүктеу/скачать 31,8 Kb.
|
высшмат03
Условные экстремумы и функция ЛагранжаВ задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум. Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера. Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи - нахождение условного экстремума функции двух переменных.. Шаг 1. Вводится функция Лагранжа , где первое слагаемое - сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус - левая часть уравнения условия связи, умноженная на (лямбда) - множитель Лагранжа. Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных , выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии , означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100. Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части: . Составим функцию Лагранжа: . Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума): Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума - стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками. Пример 1. Шаг 2. Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений: Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y: Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа: Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции: Получили и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку . Шаг 3. Пусть является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа и в полученном выражении подставить вместо "лямбды" её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля ( ), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля ( ), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам. Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом). жүктеу/скачать 31,8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|