Вопрос № Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
Вопрос № 16. Длина дуги в прямоугольных и полярных координатах
жүктеу/скачать 13,56 Mb.
|
Mat analiz - FULL
Вопрос № 16. Длина дуги в прямоугольных и полярных координатах.Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая. Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b Возьмём на дуге AB точки A, M1, M2, ..., Mi, ..., B с абсциссами x0 = a, x1, x2, ..., xi, ..., b = xn и проведём хорды AM1, M1M2, ..., Mn-1B, длины которых обозначим соответственно через Δs1, Δs2, ..., Δsn. Тогда получим ломаную AM1M2 ... Mn-1B, вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна . Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю: . Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ Пример . Найти длину окружности . Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет: , откуда находим производную функции: Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем: Ответ: длина всей окружности равна . Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле: . (2) Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями: В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле (3). Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями если . Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если : Вычислим производные функций x и y: Используем формулу (3): Производим подстановку: Окончательно находим: . Ответ: длина дуги кривой равна 26. Если параметрическими уравнениями задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле: . (4) Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями Решение. Вычислим производные функций x, y и z: Используем формулу (4): жүктеу/скачать 13,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|