Вопрос № Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
жүктеу/скачать 13,56 Mb.
|
Mat analiz - FULL
- Бұл бет үшін навигация:
- Имеет место формула Ньютона-Лейбница: . Доказательство
- Окончательно
| П р и м е р ы: 1. ; 2. .
Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным нижним пределом. . Можно ли дифференцировать определенный интеграл по переменному нижнему пределу? Если можно, то, чему равна производная? Имеем . Для доказательства достаточно поменять пределы интегрирования и использовать доказанную теорему. Таким образом, производную определенного интеграла по переменному нижнему пределу отдельно не рассматривают. Доказанная теорема является одной из основных в математическом анализе, так как показывает связь между операциями дифференцирования и интегрирования и может служить иллюстрацией закона диалектики и связи явлений в природе. Эта же теорема позволит получить формулу Ньютона-Лейбница, с помощью которой вычисляется определенный интеграл. Вопрос № 12. Теорема Ньютона-Лейбница.Пусть – непрерывная функция на данном отрезке , одна из первообразных для данной функции. Имеет место формула Ньютона-Лейбница: . Доказательство: Определенный интеграл равен приращению первообразной для подынтегральной функции на отрезке интегрирования. ◄По условию первообразная для . Функция так же первообразная для . Так как первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянную, то можно записать: (*) . Подставим в (*) , . Имеем . Подставим в (*) , , По свойству определенного интеграла Окончательно, ► Обозначим (знак двойной подстановки). Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона-Лейбница в таком виде: . Формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами. Формальная разница между ними: определенный интеграл – число, неопределенный интеграл – множество функций. Имеем: . Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную (неопределенный интеграл) для , а затем найти разность значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. жүктеу/скачать 13,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|