§ 9.1 Жазықтық қисық сызықтар

143
Жазықтық қисық сызықтары алгебралық жəне трансцендентті болып 
бөлінеді. Қисық сызық теңдеуі рационалдық функцияларда берілсе, онда 
қисық сызық алгебралық қисық сызық болады. Ал, керісінше, трансцендентті 
қисық сызықтар теңдеулері рационалды функциялар болмайды. 
Жазықтық алгебралық қисық сызықтар теңдеуінің дəрежесіне қарай 
екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі жəне т.б.с.с. болып бөлінеді. Ал 
трансцендентті қисық сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы 
мен эвольвентасы, синусоид жəне т.б.с.с. қисық сызықтар жатады. Төменде 
жазық тық алгебралық қисық сызықтарға мысал ретінде екі дəрежелі қисық 
сызықтар мен шеңбердің эволютасы, эвольвентасы, синусоидасын қарастырып 
отырмыз. 
9.1.1 Екінші ретті қисық сызықтар
Күнделікті адам өмірінде, оның ішінде механикада, оптикада, кеме, көліктер 
жəне ұшақтар жасауда, сəулет-құрылыс ғимараттарын салғанда, көптеген 
техникалық есептерді шешкенде жəне сызба геометрияда алгебралық қисық 
сызықтардың ішінде көп қолданылатын түрі – екінші ретті 
қисықтар. 
Екінші ретті қисық сызықтардың қарапайым түрі - 
шеңбер. Себебі, шеңбердің алге 
б 
ра 
лық теңдеуі екінші 
дəрежелі тең 
деу 
мен сипатталады. Бұл шеңберге гео-
метриялық қасиеттері жағынан эллипс, парабола жəне 
гипербола ұқсас болады.
Бұл аталған екінші ретті қисық 
сызықтар ерте заманда белгілі болған. 
Біздің эрамыздан бұрынғы IV ғасырда 
өмір сүрген ежелгі грек ғалымы Менехм 
осы екінші ретті қисық сызықтарды 
зерттеумен айналысқан. Евклид пен Архимедтің бұл 
қисықтарды зерттеуде еңбектері өте үлкен. Ежелгі грек 
ғалымдары еңбектерінде екінші ретті қисық сызықтарды 
конус пен жазықтықтың қималары арқылы алып, оларды 
конустық қималар деп атаған (133-сурет). 
133-суреттен көріп отырғандай, егер кесуші (сары) 
жазықтық тік дөңгелек конустың осіне параллель болып 
кесілетін болса, онда конустың қимасы гипербола болады. 
Ал, егер кесуші (қара) жазықтық тік дөңгелек конустың жасалушысына 
параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы парабола болып 
шығады (133-сурет). 
Егер дөңгелек конусты (қоңыр) кесуші жазықтық жалпы жағдайда 
орналасқан болып кесілсе, онда конустың қимасы эллипс болады (133-сурет). 
Ескерту, егер қоңыр кесуші жазықтық дербес жағдайда болып (тік дөңгелек 
конустың табанына параллель болса) кесілсе, онда конустың қимасы шеңбер 
болады (133-суретте бұл шеңбер көрсетілмеген). 

144
Ежелгі гректің ұлы геометрі Аполлоний (250 - 200 жылдарда өмір сүрген) 
екінші ретті қисық сызықтар туралы сегіз кітаптан тұратын құнды еңбек 
жазып, ол қисықтарды бір жүйеге келтіріп, теориясын жасаған. Аполлоний 
екінші ретті қисық сызықтардың фокустарын (латынның ошақ деген сөзі), 
хордаларын, түйіндес диаметрлерін жəне асимптоталарын анықтаған. 
Өкінішке орай, Аполлоний өмір сүрген кезде декартты координаталар жүйесі 
болмағандықтан, ол кесінділер мен аудандар тілінде баяндаған. 
Екінші ретті қисық сызықтардың негізгі теңдеулерін алғаш рет Пьер Ферма 
қорытып шығарған. Ол теңдеу: 
=
2
y
 2 рх+тх
2
түрінде жазылады. 
Егер дербес жағдайда 
k
m
−
=
болса, онда 
эллипс 
тің (ежелгі гректің 
«эллейпсис» кем түсіру 
деген сөзі) теңдеуі шыға-
ды (134-сурет). Сонымен 
эллипс деп берілген екі 
нүктеге дейінгі қашық-
тықтарының қосын 
дысы 
тұрақты болатын нүкте-
лердің геометриялық ор-
нын айтады. 
S
O
i
O
1
F
2
F
A
B
C
D
c
2
x
y
E

145
Егер екінші ретті қисық 
сызықтардың негізгі тең-
деуін дегі 
0
=
m
болса, 
онда параболаның (ежелгі 
гректің «параболе» дəл түсіру 
деген сөзі) теңдеуі шығады 
(135-сурет). 
Парабола деп берілген 
нүкте (параболаның фокусы-
нан) берілген түзуден (дирек-
трисадан) бірдей қашық-
тықтағы нүктелердің геомет-
риялық орнын айтады. 
Екінші ретті қисық сызық-
тардың үшінші түрін қарас-
тырайық (136-сурет). Егер 
қисықтың негізгі теңдеуіндегі 
k
m
=
болса, онда гипер-
боланың (ежелгі грек тілін-
де «гиперболе» деген асырып түсіру деп аударылады) теңдеуі шығады. 
Гипербола деп берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының айырмасы 
тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын айтады. 
O
1
F
A
P
x
y
P
2
P
1
R
1
R
O
1
F
A
x
y
1
R
/
1
R
2
F
A

146
Осы аталған екінші ретті қисық сызықтардың алғаш рет атын қойған 
Аполлоний болатын. 
Екінші ретті қисық сызықтарды поляр теңдеулерімен де көрсетуге болады. 
Бұл поляр теңдеуін:
ϕ
cos
1
e
p
r
−
=
Леонард Эйлер (1707 – 1783) дəлелдеп енгізген. Бұл теңдеуден эллипсті 
теңдеуін алу үшін е
<
1
болуы қажет. Ал, е=1 болса, парабола, е
>
1 болса 
гипербола болады. 

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: