Лагранж теоремасын қолданып функциясының [-2,1] аралығында жататын C нүктесін табыңыз

ХІХ ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам тартушы авторлардың көбісі сандар мен сандарға амалдар қолдану әрекетін құдайлар немесе кемеңгер философтар шығарған деп түсіндіріп келді. Өткен ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер “бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады”, - дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор, біресе Прометей немесе басқа бір пайғамбар шығарыпты-мыс деген тұжырымдар көпұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар.

Шындығында арифметиканың өзі айрықша ғылым бертінде қалыптасқанмен, оның басты ұғымы- сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған.

Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған . Бұл жағынан қарағанда адам саннан бұрын-ақ “санауды”, “түгендеуді” деуге болады. Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының нақты мысалы. Ел аузындағы “түгендеймін санамай” деген сөз тіркесі осыны аңғартады. Осы сияқты олар кейде бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл әрине, өте ерте кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.

Түстеп түгендеу жас балалар әрекетінде де ұшырасады. Мәселен, 2-3 жастағы жас сәби ойыншықтарының түгел, түгел еместігін түсіне қарай біле алады.

Осылай түстеп түгендеу кезінде санауға тиісті нәрселер жиынының (иттер тобы түйелер келесі немесе бір қора қой, ойыншықтар т.б.) ерекше бір қасиеті ретінде танылады. Ол қасиет біріншіден, осы жиынның бүтіндігін, тұтастығын екіншіден, сол нәрселерден құралған басқа жиындармен салыстырғанда аз-көптігін білдіреді.

Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін заттың көп-аздығы, бары-жоғы ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа негізгі міндеттерді (мәселен, “мен 20 қоян әкелдім” дегенді білдіру сияқты) орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдайда адамдар саусақпен санауға ұмтылған.

Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір (австриялық) австралиялық жабайы тайпалар дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына баққан қойының санына сай келетін кертікшелер белгілеу арқылы қойының есеп қисабын алып отырған.

Бұл қарсаңдада сан тең мөлшерлі жиындардың бәріне ортақ, тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптаса қоймайды. Мұнда тек бір жиындағы нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен ауыстырылды. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.

Санмен санаудың дамуында тағыда бір нәрсе-тең мөлшерлі жиындар, топтар ішінен айрықша біреуін сайлап алу. Мәселен, белгілі бір топты бес нәрсенің барын білдіру үшін бір қолдың саусақтарын көрсету жеткілікті болған. Бұл жерде қол саусақтарының жиыны ерекше жиын түріне қарастырылып, осыған тең мөлшердегі басқа жиындар мөлшерін анықтау негізге алынған. Бір топтың сан мөлшерін екінші топтың сан мөлшерімен салыстырып, санау практикасы сан ұғымының қалыптасуындағы басты факторлардың біріне айналады. Санау әрекеттеріндегі осы беталыстың, бағыттың біртіндеп натурал сандар ұғымы қалыптаса бастады.

Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекерасы біртіндеп кеңіді. Тілінде тек бір мен екі сандары ғана бар, жабайы тайпалар қәзірдің өзінде ішінара кездесіп қалады. Әлігінде айтылған, Торрес бұғазының тайпалары 1-ді уратун, 2-ні оказа,-уратун, 4-оказа-оказа-оказа, 5-оказа-оказа-уратун, 6-оказа оказа-оказа деп санаған, одан артық сандарды “көп” “сан жетпес” дейді екен. Осындай сандардың белгілі бір шекарасы баяғыда әр халықта да болған. Мысалы, біраз елдерде жеті саны ең үлкен сан болғандықтан көрсететін көптеген сөз тіркестері бар. Жеті өлшеп, бір кес, “жетеу жалғыздығы” күтпес, “соқа айдаған біреу, қасық ұстаған жетеу”, “жеті су” т.с.с.

Осы сияқты қазақ тілінде де 40 саны бір кезде сандар шекарасы болғанын сипаттайтын сөздер көп кездеседі, “40 шілтен”, “40 уәзір”, “30 күн ойын”, “40 күн тойы”, “Қырық құрақ”, “қырық жамау”, “40 жыл қырғын болса да, ажалды өледі” т. б.Сан ұғымының қалыптасу процессі

1. Адамдардың сан ұғымы жайлы түсінігі туа пайда болған жоқ. Олар шынайы заттардың қасиеттерінің және арақатынастарының көрінісі болып табылады. Олар адамдардың белсенді қызметтері кезінде қолданылады. Адам миының ұзақ мерзімді эволюциясынан кейін есептеуге және өлшеуге қажетті абстракциялар құруға қабілеті жетті.

2. Бастапқыда «сезімдік санақ» болды, яғни берілген жиын басқа көп санды (көп мағыналы) жиынмен салыстырылды. Сандық мөлшерлік қасиеттердің нақты жиын қасиеттерінің жиынтығынан бөліну процессі, оның функционалдық ролінің мойындалуы, ұзақ тарихи кезеңді қамтиды.

3. Адамдардың интеллектуалды дамудың жоғарғы деңгейіне ауысуы сезімдік санақтың кемшіліктерін көрсетті. Жиындардың бір санды еместігі, артық, кем – деген ұғымға әкелді.

4. Саусақтар мен бақайлар, тастар сияқты санақ эталондары жиындардың сандық тұрғыдан қаралуынша әкеліп соқты.

5. Сандардың атаулары енгізілді, сан туралы жалпы ұғымдар қалыптаса бастады (натурал сандар).

6. Натурал сандар шамасы бойынша салыстырылды. Алғашында қысқа-қысқа натурал сандар тізбегі бойынша, ал кейінен тізбек ұзартылды.

7. Жазулар пайда бола бастады. Символикалық аппарат дамыды.

8. 5+, 10+, 12, 60-тық санақ жүйелері пайда болды. Барлық тарихшылар оң нақты сан ұғымының пайда болу кезеңін осылай қарастырады. Сандардың жалпы кластар туралы ұғымы кейіннен қалыптасты. Дәл осы сияқты геометриялық фигуралардың пайда болу кезеңін бөлуге болады.