Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы-сан

Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа сала келіп арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі ұғымы-сан.

Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінде қалыптасқанмен,оның басты ұғымы-сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған.

Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған. Бұл жағынан қарағанда адам саннан бұрын-ақ «санауды», «түгендеуді» білген деуге болады. Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының нақты мысалы. Ел аузындағы «түгендеймін санамай» деген сөз тіркесі осыны аңғартады. Осы сияқты олар кейде бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл, әрине өте ерте кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.

Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін заттың көп-аздығы, бары-жоғы ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа негізгі міндеттері (мәселен, «мен 20 қоян әкелдім» дегенді білдіру сияқты) орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдай да адамдар саусақпен санауға ұмтылған. Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына баққан қойының санына

сай келетін кертікшелер белгілеу арқылы қойының есеп-қисабын алып отырған.

Бұл қарсаңда да сан тең мөлшерлі жиындардың бәріне ортақ, тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптаса қоймады. Мұнда тек бір жиындағы нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен ауыстырылды. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.

Санмен санаудың дамуындағы тағы да бір нәрсе-тең мөлшерлі жиындар, топтар ішінен айрықша біреуін сайлап алу. Мәселен, белгілі бір топта бес нәрсенің барын білдіру үшін бір қолдың саусақтарын көрсету жеткілікті болған. Бұл жерде қол саусақтарының жиыны ерекше жиын түрінде қарастырылып, осыған тең мөлшердегі басқа жиындар мөлшерін анықтау негізге алынған. Бір топтың сан мөлшерін екінші топтың сан мөлшерімен салыстырып, санау практикасы сан ұғымының қалыптасуындағы басты факторлардың біріне айналады. Санау әрекеттеріндегі осы беталыстың , бағыттың біртіндеп дамуы нәтижесінде өзара тең мөлшерлі жиындардың ортақ, орнықты мөлшерлік қасиеті ретінде біртіндеп натурал сандар ұғымы қалыптаса бастады.

Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекарасы біртіндеп кеңейді.Тілінде тек бір мен екі сандары ғана бар жабайы тайпалар қазірдің өзінде ішінара кездесіп қалады. Әлгінде айтылған Торрес бұғазының тайпалары 1-ді урапун, 2-ні оказа, 3-ті оказа-урапун,4-ті оказа-оказа, 5-оказа,оказа-урапун, 6-оказа-оказа-оказа деп санаған, одан артық сандарды «көп», «сан жетпес» дейді екен. Осындай сандардың белгілі бір шекарасы баяғыда әр халықта да болған. Мысалы, біраз елдерде жеті саны ең үлкен сан болғандығын көрсететін көптеген сөз тіркестері бар: «жеті өлшеп, бір кес», «жетеу жалғызды күтпес», «соқа айдаған біреу,қасық ұстаған жетеу», «жеті су» және т.б.

Осы сияқты қазақ тілінде де 40 саны бір кезде сандар шекарасы болғанын сипаттайтын сөздер көп кездеседі, «40 шілтен», «40 уәзір», «30 күн ойын, 40 күн тойы», «Қырық құрақ, қырық жамау», «40 жыл қырғын болса да, ажалды өледі» т.б.

Сан ұғымының қалыптасуымен қатар сандарға төрт амал қолдану әрекеті туып жетілді. Сан ұғымы ендігі жерде бөлшек сан түрінде дамыды. Бөлшектер бүтін оң сандар сияқты күнделікті тұрмыс қажеттілігінен шыққан. Түрліше ұзындық, аудан, көлем, уақыт тағы басқа сондай шамаларды өлшеу барысында олар есептеу практикасында қолданыс тапты.

Сан ұғымы математика ғылымындағы ең негізгі ұғымдардың бірі.

Адамзат мәдениет есігін аша бастағанда математикадағы ең бірінші амал нәрселерді санау болды.

Нәрселерді санаудың нәтижесінде натурал сандар шыққан. Натурал сандардың әрқайсысын белгілеу үшін жасалған таңбалар цифрлар деп аталады.

Цифрлар:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және 0. Бұл цифрлар алғашқыда Үнді елінде қолданылған, бірақ Еуропаға бұл цифрларды арабтар әкелген. Осыдан бұл цифрлар араб цифрлары деп аталған.

Осындай цифрлардан сандар құрастырылып, олар белгілі бір тәсілмен аталып таңбаланған.

Сандардың аталуының және таңбалануының жалпы тәсілін санау жүйесі деп атайды.

Санау жүйесінің ішіндегі тұңғыш пайда болғаны екілік санау жүйесі. Бұл жүйе бойынша қолданылатын сандар: бір және екі. Австралия және Полинезия тайпалары осы бір мен екі сандарынан үшті, төртті, бесті, алтыны құрастырған.

Қазіргі кезеңдерде қолданылатын халықаралық санау жүйесі-ондық жүйе. Ондық жүйедегі кез келген разрядтың 10 бірлігі, одан жоғарғы келесі разряд бірлігін құрайды. Натурал сандар осы ондық жүйемен жазылады. Ондық жүйедегі әрбір цифрдың мәні оның жазылуындағы тұрған орнына байланысты. Сондықтан бұл санау жүйесін позициялық ондық санау жүйесі деп те атайды. Позициялық ондық санау жүйесі шығыс елдерінде IX ғасырдан бастап тарады.

Ертедегі вавилондық астрономдар санау жүйесі үшін алпыстық жүйені алған, осыған байланысты уақыттың , бұрыштың градустық өлшемін санау тәсілі алпыстық жүйемен алынғаны белгілі.

Өмірде, тұрмыста кездесетін көптеген шамалар (жылдамдық, биіктік, баға, температура, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізіледі. Теріс сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейін II ғасырдағы қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды «өсу» өзгерісінде қолданса, теріс санды «кему» өзгерісінде қолданылған, ал оң сандарды қолда бар зат «мүлік» деп түсінген.

Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар 0 саны да жаңа мағынаға ие болды. 0 саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың қосындысы деп есептелді.

Үнді математиктері де теріс сандарды VII ғасырда ғана қолдана бастады. Ал Еуропа теріс сандарды XII-XIII ғасырларда ғана қолдана бастады.

Теріс сандар туралы нақты мәліметтер және оларды қолдану XVIII

ғасырдың бірінші жартысында ғана жүзеге асырылды. Осы кезден бастап теріс сандардың қазіргі жазу белгісі қолданылды.

Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді енгізіп, теріс және оң сандарға түсінік берді.

Александрия мектебінің көрнекті өкілі, есімі бізге мектеп арифметикасынан жақсы таныс атақты кирендік Эратосфен болды.

Эратосфеннің бізге екі үлкен математикалық жетістігі белгілі.

Оның бірі, кубты еселеу есебінің механикалық шешуін табуы, екіншісі, қазіргі математикада кеңінен мәлім «Эратосфен елегі» деп аталатын әдісті ашуы.

Натурал сандар қатарында жай сандардың орналасу заңдылығын анықтау сандар теориясының ең ежелгі де басты мәселелерінің бірі болған. Бірге және өзіне ғана бөлінетін натурал сандар жай сандар деп аталады. Жай сандардың шексіз көп екенін ең бірінші Евклид тағайындаған.