Занятие № Квантовая оптика. Волновые свойства частиц. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

 
Пример 2.
Вычислить длину волны де Бройля для протона, 
движущегося со скоростью 

= 0,6
с
(
с
– скорость света в вакууме). 

Дано: 

= 0,6
с
. 
Решение. 
Запишем формулу, определяющую длину волны де Бройля 

– ? 
p
h


где 
h
–
постоянная Планка (
34
10
63
,
6



h
Дж∙с); 
p
– импульс частицы. Так 
как скорость протона сравнима со скоростью света, то для определения его 
импульса необходимо использовать релятивистское выражение 
2
1









с
m
p
пр


, 
где 
пр
m
– масса покоя протона (
пр
m
= 1,672∙10
–27
кг = 1,00728 а.е.м.). 
Подставляем выражение импульса в первоначальную формулу 













пр
m
c
h
2
1
. 
В полученное выражение подставляем числовые значения величин и 
проводим вычисления 
 
8
27
2
34
10
3
6
,
0
10
67
,
1
6
,
0
1
10
63
,
6











м = 1,76∙10
–15
м = 1,76 фм. 
Ответ: 

= 1,76 фм. 
Пример 3.
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода 
составляет величину порядка 
кин
W
=10 эВ. Используя соотношение 
неопределенностей оценить минимальные размеры атома. 





x
p
x
, 
где 
x
p

– неопределенность импульса частицы (в данном случае электрона); 
x

– неопределенность координаты частицы (электрона); 

– постоянная 
Планка (обозначение Дирака). Пусть атом имеет линейные размеры 

, тогда 
электрон атома будет находиться в пределах области с неопределенностью 
2



x
. 
Поэтому первое уравнение можно записать в виде 
 





x
p
2
, 
откуда 
 
x
p





2
. 
С точки зрения физики, разумно считать, что неопределенность 
импульса 
x
p

не превышает самого импульса 
x
p
, т.е. 
x
x
p
p


. Импульс 
x
p
связан с кинетической энергией электрона в атоме соотношением 
Дано: 
кин
W
=10 эВ = 1,6∙10
–18
Дж 
Решение. 
Соотношение 
неопределенностей 
для 
координаты и импульса имеет вид: 
x

– ? 

кин
2
W
m
p
x


. 
Заменив в предыдущем уравнении 
x
p

на 
x
p
, получим
кин
мин
2
2
W
m





, 
т.к. проведенная замена не увеличивает 

.
Пример 4. 
Найти неопределенность составляющей скорости электрона, 
движущегося в атоме при условии, что положение электрона может быть 
определено с точностью до размеров атома, т.е. 
м
x
10
10



. 





x
p
x
, 
или 






m
x
v
x
. Находим: 
с
м
х
m
v
x
6
10
15
,
1







 
 
 
Задачи для самостоятельного решения. 
№ 6.61 
Выведите закон дисперсии волн де Бройля, т.е. зависимость фазовой 
скорости волн де Бройля от их длины волны. Рассмотрите нерелятивистский 
и релятивистский случаи. 
№ 6.62 
Ширина следа электрона ( обладающего кинетической энергией 
Т=1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, 
составляет ∆
𝑥
=1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить 
отклонение в движении электрона от законов классической механики. 
№ 6.64 
Определите отношение неопределенностей скорости электрона, если 
его координата установлена с точностью до 
10
−5
м, и пылинки массой 
m
=
10
−12 
кг, если ее координата установлена с такой же точностью. 
№ 6.68 
Используя соотношение неопределенностей в форме 





x
p
x
, 
оцените минимально возможную полную энергию электрона в атоме 
водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу атома. 
Сравните полученный результат с теорией Бора. 
Дано: 
м
x
10
10



Решение. 
Из 
соотношения 
неопределенностей 
для 
координаты х и проекции скорости на ось x 


v
х
?