Үздіксіз кездейсоқ шамаларды модельдеу әдістерін жіктеу

жүктеу/скачать 115,57 Kb.

бет	2/3
Дата	25.01.2022
өлшемі	115,57 Kb.
	#114093

1 2 3

Байланысты:
здіксіз кездейсо шамаларды модельдеу дістерін (1)

Нейманның “шығару” әдісі
Шектік теоремалар әдісі

z ] кесіндісіне түсу ықтимал-

P{ ξ  z }  P{ F(η )  F( x )}  P{ η  x }  F( x )  z.

(3.2)

Осы өрнектің бірінші тендігі теореманың (3.1) шартынан алы- нып жазылған. Екінші теңдіктің туралығы, үлестірім функция- сының мөлшері нөлден бірге дейін бірсарынды өсуінен шығады.

35

Төртінші теңдік “айдан да айқын”, себебі ол үлестірім функция- сының екі түрлі жазылуынан шығады. Соңғы теңдік бірқалыпты үлестірімді базалық кездейсоқ шаманың [0;1] интервалының кез келген ішкі интервалына түсу ықтималдылығы осы аралықтың ұзындығына әр уақытта тең болатын негізгі қасиетін, яғни

P{ ξ  z }  z

екенін көрсетеді.

Кері функция әдісін іс жүзінде қолдану үшін x

нақтыламасын мына интегралдық теңдеуді шешіп табу қажет:

x _j

_f ( x )dx  z _j. a

3.1- мысал. Тығыздық функциясы

f ( x )  x^²

(3.3)
болатын η

кездейсоқ шамасы [1, ) интервалында анықталған.

Шешуі. Осы кездейсоқ шаманың x нақтыламасын табу үшін (3.3) қатынасын қолданайық:

x _j

_x^²dx  11 / x _j z _j

1

сонда

x _j F ^¹( z _j)  1 /(1  z _j).

Кері функция әдісінің алгоритмі келесі қадамдардан тұрады.

қадам.

j  1 болсын.

қадам. Кездейсоқ ξ шамасының z нақтыламасын модельдеу.

қадам. Кездейсоқ η шамасының x _j

есептеу:

нақтыламасын

қадам.

x _j F ^¹( z _j).

j  j  1 болсын.

қадам.

j  n

шартын тексеру. Мұндағы n саны x

нақтыламаларының алдын ала тағайындалған қажетті мөлшері. Бұл шарт орындалған жағдайда 2-ші қадамға оралу керек.

қадам. ( x _j) мәндерін баспалау.

Нейманның “шығару” әдісі

Джон Фон Нейманның “шығарып тастау” әдісі, бірқалыпты үлестірімді базалық тізбектің кездейсоқ сандарының кейбіреу- лерін алып тастағанда, қалғандарын берілген үлестірім заңына

сәйкес келтіруге негізделген. Кездейсоқ η шамасы a,b ара-

лығында жоғарыдан шектелген (3.1-сурет) тығыздық функция- сымен берілсін:

3.1-сурет

f ( x )  M , a  x  b.

Шығарып тастау әдісіне негіз болатын 3.2-теоремасын

тұжырымдайық:

z₁және

z₂базалық ξ кездейсоқ шамасының

тәуелсіз нақтыламалары болсын, ал x пен y -ті мына өрнектерден алайық:

Сонда

x  a  z₁( b  a ),

y  Mz₂.

(3.4)

η  x егер y  f ( x )

(3.5)

шартымен табылған η кездейсоқ шаманың үлестірім заңы тығыздық функциясымен анықталады.
f x

Дәлелдеу .Координаттары (3.4) формулаларымен есептелген кездейсоқ Ax, y нүктелері, ауданы

B  M b  a

тең abcd тіктөртбұрышында бірқалыпты таралатыны айқын.

Осыны еске ала отырып,

Ax,

y нүктесінің

y  f x
қисығы-

ның астында жату ықтималдығын табайық:

b

P{ y  f ( x )}  _f ( x )dx[ M( b  a )] ^¹  [ M( b  a )] ^¹ .

a

Ax, y нүктесінің y  f x функциясының астындағы

[ a^,b^]

аралығында жату ықтималдылығын да аудандардың

қатынасы арқылы табуға болады:

b

P{ a^ x  b^, y  f ( x )}  ( _f ( x )dx ) /( M( b  a )).

a^

Енді шартты ықтималдылығын есептейік:

P{ a^

 x  b^/ y  f ( x )} 

P{ a^ x  b^, y  f ( x )} P{ y  f ( x )}

b^

 _f ( x )dx.

a

Дәлелдеу керегінің өзі де осы. Шығарып тастау әдісінің алгоритмі:

қадам. i  1, j  1 деп алайық.

қадам. ξ кездейсоқ шамасының нақтыламаларын табу.

^z2 j 1

және

^z2 j

тәуелсіз

қадам.

x _j a  z₂_j_₁( b  a )

және

y _j M  z₂_j

координат-

тарын есептеу.

қадам.

y _j f x _j
шартын тексеру. Бұл шарт орындал-

маған жағдайда 6-шы қадамға көшу.

қадам. x_i x _j

және i  i  1 деп алайық.

қадам.

j  j  1 болсын.

қадам. Есептеудің аяқталу, яғни

i  n

шартын тексеру.

 
Шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға көшу.

қадам. x_jнақтыламаларын баспалау.

Нейманның “шығарып тастау” әдісінің әсерлілігі, Ax, y

нүктесінің y  f x қисығының астында жату ықтималдығына

тура пропорционалды, яғни

Py  f x M b  a^¹.

Демек, бұл әдістің әсерлілігі үлкен болуы үшін, M -нің мәнін мүмкіншілігінше кішірек қылып алу керек, яғни

M  sup f x ,

a  x  b .

3.2-мысал. Шешуі:

f x  2x  x² ,

x  1;5 болсын.

M параметрін табамыз:

M  sup f x  sup2x  x²  35 ,

a  x  b .

2-қадамда Сонда

z₁ 0,75;

z₂ 0,2

екенін таптық деп ұйғарайық.

x₁ 1  0,75  4  4 ,

y₁ 35  0,2  7 ,

f x₁  2  4 16  24 , y₁ 7  f x  24 .

Демек, η  x₁ 4 .

Нейман әдісінің маңызды артықшылығы кездейсоқ шаманың үлестірім заңын аналитикалық түрде де, график түрінде де беруге болатын мүмкіншілігінде жатыр.

Шектік теоремалар әдісі

Кездейсоқ шамаларды модельдеудің бұл әдісі ықтимал- дықтар теориясының белгілі шектік теоремаларының кейбір шарттарын жуықтап елестетуге негізделген. Мысалы, ықтимал- дықтар теориясының орталық шектік теоремасы қалыпты үлестірім заңына бағынатын кездейсоқ шаманы модельдеуге

мүмкіндік береді. Бұл теореманы алғаш рет Лаплас тұжырым- даған. Оны толықтырып, жетілдіруге көптеген атақты мате- матиктер атсалысты, солардың ішінде П. Чебышев, А.А. Марков және А.М. Ляпуновтар да бар.

Орталық шектік теоремасының келесі тұжырымын келтірейік.

3.3-теорема.

ζ₁, ζ ₂,..., ζ_n

– бір ғана үлестірім заңына

бағынған, өзара тәуелсіз және мөлшерленген кездейсоқ шамалар

болсын. Сонда

n  

жағдайында, (3.6) формула арқылы

табылған мөлшерленген η^н

шамасының

η^н _ 1

ζ i1
(3.6)

2
үлестірім заңы, ықтималдық тығыздығы

 


f x  _



2π ^^e

болатын мөлшерленген қалыпты үлестірім заңына жақындайды. Егер (3.6) формуласында ζ кездейсоқ шамасының орнына математикалық

үміті

және дисперсиясы

-ге тең,  базалық

t
кездейсоқ шамасын қолданса, формуланы мына түрге келтіруге болады:

(3.7)

Демек, (3.7) формуласымен, үлкен n -нің мөлшерін алған

жағдайда, параметрлері

m_x 0

және



1 болатын, қалыпты

үлестірімді кездейсоқ шаманың нақтыламаларын табуға болады.

Жүргізілген зерттеулер қосындысының қатесі

n  12 -ге тең болғанның өзінде (3.7)

9 10^³ -тен аспайтынын дәлелдеді.

Сондықтан, іс жүзінде m_x

және

параметрлері берілген

x
қалыпты үлестірім заңын модельдеу үшін мына формула жиі қолданылады:

Мұндағы z және x базалық ξ және модельденетін кездейсоқ шамалардың нақтыламалары.

Осы әдістің алгоритмі мына қадамдардан тұрады:

қадам.

j  1 болсын.

қадам. S  0 және i  1 деп алайық.
қадам. ξ кездейсоқ шамасының z нақтыламасын алу. 4-қадам. S  S  z және i  i  1 болсын.

қадам.

көшу.

i  12

шартын тексеріп, орындалса 3-ші қадамға

қадам. Кездейсоқ η шамасының кезекті x _j

сын есептеу.

нақтылама-

жүктеу/скачать 115,57 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3