Дәріс 17. Біртіндеп жуықтау әдісі

Берілген

теңдеулер жүйесін былайша жазайық

мұнда  .

Енді (6.10) теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті пайдаланайық

, (6.11)

мұнда  -өзіміздің еркіміз бойынша алынатын кез-келген бастапқы вектор. (6.11) итерациялық әдісін (6.2) формуласы түрінде жазсақ

онда   екенің және бұл стационар итерациялық әдіс екенің көреміз.

Бұл әдістің жинақтылығын анықтау үшін, математикалық индукцияны қолдану арқылы, (6.11) теңдігінен алынған

 (6.12)

және   теңдігінен (6.11) теңдігін алып тастағанда алынған

формулаларын қарастырайық.

Енді осы формулаларды қолдана отырып әдістің жинақтылығы туралы бірнеше теоремаларды берейік.

6.1-теорема: Кез-келген  -де біртіндеп жуықтау әдісінің жинақты болуы үшін   матрицасының меншікті мәндерінің модулі бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.

Бұл теореманың шартын тексеру қиын болғандықтан, шарттары оңай анықталатын теоремаларды қарастырайық.

6.2-теорема: Біртіндеп жуықтау әдісі жинақталуы үшін   болуы жеткілікті.