Дифференциалдық теңдеулер

Тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функция у=у(х) және оның у',…,у(n) туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу (жай дифференциалдық теңдеу) деп аталады.

F(х,у,у^',…,у⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Теңдеудің реті деп теңдеуге кіретін ізделінген функция туындыларының ең жоғарғы реті аталады. Егер ең жоғарғы ретті туынды шешілген болса, онда теңдеудің түрі

у⁽ⁿ⁾=f(х,у,у^',…,у^(n-1)) (2) болады.

(2)-теңдеу ең үлкен туындыға қатысты шешілген туынды деп аталады.

Жай дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуді қанағаттандыратын у(х) функциясын айтады.

Дифференциалдық теңдеуінің шешімінің графигін интегралдық қисық деп атайды.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін интегралдау арқылы табамыз.

Жалпы шешімі y=φ(x,C₁, ...С_n) функциясы.

Жалпы интегралы F(x,C₁, ...С_n)=0 функциясы.

Дербес шешімі жалпы шешімдегі тұрақты С санының белгілі бір мәнінде алынады.

Коши есебі. Берілген х=х₀ болғанда у(х₀)=у₀, у^'(х₀)= у₀^',…,у^(n-1)(х₀)=у₀^n-1 болатын бастапқы шарттарды қанағаттандыратын функцияны табу Коши есебі аталады: ,

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x,y,y')=0 немесе y'=f(x,y).

Бірінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: y'=f(х,у), у(х₀)=у_0..

Екінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x,y,y', y'')=0 немесе у''=f(х,у, y').

Жалпы шешімі y=φ(x, C₁, С₂), C₁, С₂ - const.

Екінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: у''=f(х,у,y'), у(х₀)=у₀, y'(х₀)=у₀^'.

Мысалы:

Көрсетілген функция берілген Коши есебінің шешімі бола ма?	Коши есебінің шешімін табыңыз.
у=cosx, y'+у=0, y(0)=1 (cosx)'+cosx=0 -sinx+cosx=0 -sin0+cos0=1 1=1, болады.	y' =2х+1, y(1)=3 у=∫(2х+1)dx=x2+x+C жалпы шешімі. y(1)=12+1+C=3 C=1 у =x2+x+1 дербес шешімі.

Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеу

M(x,у)dx + N(x,y)dy=0 дифференциалдық теңдеу берілсін.

M(x,у)=M₁(x) M₂(y)

N(x,y)= N₁(x) N₂(y) түрінде жазуға болсын.

M₁(x) M₂(y)dx + N₁(x) N₂(y)dy=0 - Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеу.

Бұл теңдеуді N₁(x) M₂(y) өрнегіне бөлсек: