1 такырып. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер ұғымы Дәрістің мақсаты
жүктеу/скачать 190,26 Kb.
|
Дәріс 1
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Негізгі ұғымдар
|
1 такырып. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер ұғымы Дәрістің мақсаты. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер ұғымын игеру Дәріс жоспары: 1. Негізгі ұғымдар 2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулер 1. Негізгі ұғымдар Анықтама. Тәуелсіз айнымалы х –ті, оның функциясы у-ті және осы функцияның әртүрлі реттегі туындыларын байланыстыратын теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атайды, оны жалпы түрде (1) өрнегімен белгілеп жазады. Егер дифференциалдық теңдеуде белгісіз функция тәуелсіз айнымалы болса ,онда дифференциалдық теңдеу қарапайым деп аталады. Егер дифференциалдық теңдеуге кіретін белгісіз функция бірнеше тәуелсіз айнымалыларға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу дербес шешімді теңдеу деп аталады Алдағы уақытта біз тек қана қарапайым дифференциалдық теңдеулерді ғана қарастырамыз. Дифференциалдық теңдеуге енген функция туындысының ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Жоғарыдағы (1) теңдеу – n-ретті. Ал осы теңдеуде n=1 болса, онда теңдеу бірінші ретті деп аталады да, ол жалпы түрде (2) өрнегімен жазылады. Егер (1) теңдеуде n=2 болса, онда теңдеу екінші ретті деп аталып, түрінде жазылады. Егер (2) теңдеуден туындысын тауып алып, айқындап жазсақ, онда теңдеу мына түрде болады: (3) Егер берлген теңдеуде ізделінді функция y(x) бірінші дәрежеде және оның туындылары қатысатын болса, онда мұндай теңдеуді n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды, оның жалпы түрі мынадай: (4) Дифференциалдық теңдеудің сол жағындағы көпмүшенің дәрежесі осы дифференциалдық теңдеудің дәрежесі деп аталады. Дифференциалдық теңдеуді шешу дегеніміз - сол теңдеуді қанағаттандыратын барлық шешімдерді табу Мысал, теңдеудің шешімі және ,себебі және Дифференциалдық теңдеудің шешімдер графигін интегралдық қисық деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін іздеу процесін дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп аталады. Теңдеу интегралданған деп аталады , егер ол айқын түрде немесе қандайда бір шектік теңдеуі айқын емес түрде шешілсе. Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтайтын шектік теңдеуі осы теңдеудің интегралы деп аталады. Егер (1) теңдеуде n=1 болса, онда теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады да, ол жалпы түрде өрнегімен жазылады. Егер осы теңдеуден туындысын тауып алып, айқындап жазсақ, онда теңдеу мына түрде болады: немесе: Мұндағы интегралдау арқылы табылады: . Егер мәнінде болса, онда . дифференциалдық теңдеуі туындының мәні мен (x,y) координаталар нүктелері арасында тәуелділік орнатады. Осылайша теңдеуі өріс бағытын анықтайды.Ал бұл жердегі шешімде С кез келген тұрақтысының қатысуы кездейсоқ емес. Осыған қатысты мынадай анықтама беруге болады. Егер функциясы х айнымалысы бойынша теңдеудің шешімі болса және де бұл теңдеулердің кез келген С тұрақтысының тиянақты бір мәнінде өрнектелсе, онда шешімін дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Сөйтіп бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміне бір кез келген тұрақтысы қатысады. дифференциалдық теңдеудің бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі деп атайды. Теорема: Егер және функциялары нүктесінің аймағында үздіксіз болса, онда Коши есебі , нүктесінің аймағындабір ғана шешімі бар. үшін қанағаттандыратын геометриялық нүктелер жиынын изоклина деп атайды, демек изоклиналарының теңдеуі болып табылады. Дифференциалдық теңдеудің “шешімі” деген сөздің орнына “интеграл” деген жиі қолданылады, себебі шешімді интегралдау арқылы (квадратура жолымен) табады. Мысалы, теңдеуін немесе деп, интегралдасақ: жалпы интеграл деп аталатын шешімді аламыз, мұндағы с - кез келген тұрақты. Сонда дифференциалдық теңдеудің шексіз көп т.с.с. шешімдер жиыны болады. Бұл шешімдер жалпы шешімді береді. Ал с – ға мәндер беру арқылы жоғарыдағы дербес шешімдерді аламыз. n-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп оның (5а) шешімін айтады. Егер жалпы шешім айқындалмаған түрде (5) берілсе, онда оны дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. Дербес жағдайда бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі (6а) түрінде, ал жалпы интегралы (6) түрінде болады, мұндағы с-кез келген тұрақты. (2) бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі немесе дербес интегралы деп (6а) жалпы шешімнен немесе (6) жалпы интегралдан с тұрақтысының нақты, дербес мәндері арқылы алынытын шешімді айтады. Бұл нақты мән бастапқы шарт деп аталатын шарттың (6а) жалпы шешімге немесе (6) жалпы интегралға қойылуынан табылады. Бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімді іздеу есебін Коши есебі деп атайды. Мысалы, теңдеуінің бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін табу керек. Ол үшін: жалпы шешімге х=3,x=1қоямыз; с-ның мәнін табамыз: табылған с=-8 мәнін жалпы шешімге қоямыз: Сонымен, ; у(3)=1 , бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешім. Ескерту: Кейбір дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімге (жалпы интегралға) енбейтін шешімдері де болады, яғни жалпы шешімдегі тұрақтыға ешқандай мән бермей-ақ табылатын шешімдер, оларды - ерекше шешімдер деп атайды. Мысалы, дифференциалдық теңдеуі және үшін берілген. Оның жалпы интегралынан басқа тағы төрт шешімі: x=-1, x=1, y=1, y=-1 (ерекше шешімдер) бар, бұлар жалпы интегралдан алынбаған. Дифференциалдық теңдеулер теориясында негізгі мақсат – дифференциалдық теңдеудің барлық шешімдерін табу және осы шешімдердің қасиеттерін зерттеу. Дербес жағдайда, егер (3) теңдеудегі функциясы және оның у бойынша дербес туындысы кез келген (х,у) жұбы үшін, мұндағы үзіліссіз болса, онда кез келген жұбы үшін, мұндағы (3) теңдеудің бастапқы шартын қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі болады. жүктеу/скачать 190,26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|