Лекции : ввести понятие матрицы, рассмотреть различные виды матриц, изучить действия над матрицами
жүктеу/скачать 63,66 Kb.
|
Лекция 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Действия над матрицами.
|
ЛЕКЦИЯ 2 Матрицы, операции над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы цель лекции: ввести понятие матрицы, рассмотреть различные виды матриц, изучить действия над матрицами ключевые слова (термины): матрица, сложение, умножение матриц, обратная матрица. основные вопросы (положения) и краткое содержание: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов: Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например: Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Например: Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной. Единичная матрица обозначается буквой Е и имеет вид: . Матрица называется треугольной, если все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю. Например: Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны. Если у матрицы А заменить все строки соответствующими столбцами, то получится матрица Ат, называемая транспонированной. Если в транспонированной матрице все элементы заменить соответствующими алгебраическими дополнениями, то получится матрица, называемая присоединенной: Определителем квадратной матрицы А называется определитель, составленный из элементов данной матрицы .Обозначение: . Матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Матрицы А и В называются согласованными, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Например: Матрица А имеет два столбца, а матрица В имеет две строки, значит матрицы А и В согласованные. Действия над матрицами. Основными действиями над матрицами являются сложение, вычитание, умножение матрицы на число и умножение матрицы на матрицу. 1. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=А+В, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц слагаемых, т.е. cij = aij+bij ,(i = 1,2,….,m; j = 1,2,…,n). 2. Вычитание матриц. Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Пример. Найти сумму и разность матриц А и В, если , . Решение. По определению суммы и разности матриц имеем: , . 3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число , называется матрица В, элементы которой равны произведениям элементов матрицы А на число : В = А. Пример. Найти матрицу В = -2А, если . Решение. . Операции сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 4. Умножение матриц. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммам произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В, т.е. элементы матрицы С определяются по формуле: , Умножать можно только согласованные матрицы. Пример. Найти произведение матриц А и В, если , . Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, поэтому произведение АВ возможно. По определению произведения матриц получаем: . Умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е Умножение матриц обладает следующими свойствами: 2) 3) 4) Эти свойства верны, если написанные суммы и произведения имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства: 1) 2) 3) 4) Для невырожденных матриц вводится понятие обратной матрицы. Матрица А-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется равенство , где Е – единичная матрица. Обратная матрица определяется по формуле: , где - присоединенная матрица. Пример. Для матрицы найти обратную. Решение. Находим определитель матрицы А: . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А: , , . Обратная матрица будет равна: . Сделаем проверку: Обратная матрица обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) жүктеу/скачать 63,66 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|