Комбинаторика
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана m⋅ n способами.
Алмастыру (перестановки)  
Орналастыру (размещения, порядок важен)
 Теру (сочетания, порядок не важен) 
Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет  .  Если цифры не повторяются, то  .
Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: 
Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет  . А три книги можно переставлять между собой способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: 
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний:
Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается  нарядов (комбинаций).
Пример. Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?
Решение. Первую команду можно выбрать  способами. Этот выбор полностью определяет вторую команду. Однако при таком подсчете каждая пара команд А и В учитывается дважды: один раз, когда в качестве первой команды выбирается команда А, и второй, – когда в качестве первой команды выбирается команда В. Таким образом, ответ:  Ответ: 126
Пример. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Решение. Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n= 9, m = 4. Число таких размещений находим по формуле:  Получаем:  Ответ: 3024
Пример. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение. Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пяти элементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге  Ответ: 10 способов.
Пример. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Решение. Т.к. известно, что двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям). Следовательно, выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов, их число:  , при n=8, m=3.
 Ответ: 56 способов сформировать команду
Пример. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
Решение. Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются).
Эти выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов, их число:
Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения:
 Ответ: 7 054 320
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пример. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение. Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6: 
Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность: 
Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек.
В итого получаем 15 · 28 · 4 = 1680 способов. Ответ: 1680
Пример. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение. Не менее 2-х человек, т.е 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации).
В каждой выборке важен только состав, т.к. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки − сочетания из n различных элементов по m элементов, их число:
Число выборок из 2-х человек: 
Число выборок из 3-х человек: 
Число выборок из 4-х человек: 
Применяем правило сложения:  способов Ответ: 246
Есептер 20 оқушы оқитын сыныптан математикадан олимпиадаға қатысатын 2 оқушыны қанша тәсілмен ала аламыз… Ответ: 190 15 оқушы оқитын сыныптан 3 оқушыдан құралатын бір команданы қанша тәсілмен ала аламыз… Ответ: 455 7 кітаптан 4кітапты қанша тәсілмен ала аламыз … Ответ: 35 Шахмат үйірмесіне 4 қыз және 7 ұл қатысады. Шахматтан өтетін сайысқа 5 адамнан құралған команда құру қажет. Командада кемінде 2 қыз болу керек. Қанша тәсілмен команда құра аламыз … Ответ: 805 Жазықтықта 5 нүкте берілген (кез-келген 3 нүкте бір түзудің бойында жатпайды). Берілген 5 нүктені бір-бірімен қосқанда қанша ҮШБҰРЫШ пайда болады … Ответ: 10 8 әртүрлі кітапты төрт сөреге тең етіп қанша тәсілмен бөліп қоюға болады … Ответ: 2520 “FIZMAT” сөзінен әріптерін алмастыру арқылы қанша сөз құраса болады … Ответ: 720 “РСФМСШИ ” сөзінен әріптерін алмастыру арқылы қанша сөз құраса болады … Ответ:  “МАТЕМАТИКА ” сөзінен әріптерін алмастыру арқылы қанша сөз құраса болады … Ответ:  Қанша тәсілмен 36 картадан ішінде 1 туз болатындай 6 картаны ала аламыз … Ответ:  В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола? Ответ: 212 Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг? Ответ: 120 Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? Ответ: 60 Сколькими способами можно переставить буквы слова «факультет», таким образом, чтобы две буквы «т» шли подряд? Ответ:  Имеются 48 задач по теории вероятностей. Сколькими способами их можно распределить между 13 студентами для самостоятельного решения по 4 задачи каждому? Ответ: Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеется материал пяти различных цветов? Ответ: Сколькими способами можно переставить буквы слова «логарифм», чтобы третья, пятая и седьмая буквы были гласными? Ответ: В парке предприятия имеется 10 автобусов. Сколькими способами можно выделить для дежурства в выходные дни 2 автобуса из имеющихся? Ответ: Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, так, чтобы одна полоса всегда была красной, если имеется материал белого, красного, синего и зеленого цветов? Ответ: Для участия в эстафете выбраны пять девушек и трое юношей. Необходимо разбить их на 2 команды по 4 человека так, чтобы в каждой команде было хотя бы по одному юноше. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдцев и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки разные). Сколькими способами можно накрыть стол для чаепития, если каждый получит одну чашку, блюдце и ложку? Ответ: Сколькими способами можно раздать 6 карт четырем игрокам, если в колоде 36 карт? Ответ: Для участия в ежегодной эстафете выбраны 3 девушки и 7 юношей. Сколькими способами можно расставить их на этапах, чтобы начинали и заканчивали эстафету юноши? Ответ: Сколькими способами можно рассадить 6 гостей на 8 стульях? Ответ: В пространстве заданы 12 точек, каждые три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных плоскостей через них можно провести? Ответ: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «45»? Ответ: Сколькими способами можно расставить 8 спортсменов на 3 дорожках бассейна? Ответ: Ответ:
Достарыңызбен бөлісу: |
