Преобразование фурье в примерах и задачах
жүктеу/скачать 0,67 Mb.
|
Преобразование Фурье
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Р. К. Бельхеева ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 2014 1. Интеграл Фурье Изучая тему «Ряды Фурье», кусочно-гладкую функцию, заданную на промежутке мы разлагали в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность. При переходе к функции, заданной на всей оси x или на полуоси x, происходит качественный скачок: ряд Фурье превращается в интеграл Фурье, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось. Рассмотрим предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. 1.1. Интеграл Фурье как предельная форма ряда Фурье Пусть -непрерывно дифференцируемая функция. На основании теоремы о представимости функции в точке своим рядом Фурье мы модем для любого разложить в ряд Фурье в промежутке : где коэффициенты вычисляются по формулам: Подставив в (1) вместо коэффициентов их выражения (2) и (3), после преобразований получим: где Перейдем в этом равенстве к пределу при . Предположив, что интеграл сходится, и заменив бесконечный ряд интегралом, получим Меняя порядок интегрирования и разлагая косинус разности по известной тригонометрической формуле, получаем или где Отметим, что пр наших предположениях о функции интегралы в (5) и (6) сходятся, а интеграл (4), во всяком случае, не является интегралом, расходимость которого бросалась бы в глаза. . Формула (4) справедлива на всей числовой прямой и играет такую же роль, как разложение функции в ряд Фурье. Определения. Правая часть формулы (4) называется интегралом Фурье, а сама формула (4) — интегральной формулой Фурье. Функция , определённая формулой (5), называется косинус-преобразованием Фурье функции . Функция ,определенная формулой (6), называется синус- преобразованием Фурье функции . 1.2. Теорема о представимости функции в точке своим интегралом Фурье Напомним определение. Функция называется абсолютно интегрируемой на , если интеграл сходится. если то называется абсолютно интегрируемой. Лемма (Римана—Лебега для бесконечного промежутка). Пусть абсолютно интегрируема на .Тогда Определение. Функцию будем называть кусочно-гладкой, если она является кусочно-гладкой на любом конечном промежутке т. е. если в найдется конечное число точек таких, что в каждом открытом промежутке функция непрерывно дифференцируема, а в каждой точке существуют конечные пределы слева и справа: а также существуют и конечны следующие пределы, похожие на левую и правую производные: Теорема (о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим интегралом Фурье). Пусть кусочногладкая абсолютно интегрируемая функция. Тогда для любого справедливо равенство где 1.3. Различные виды формулы Фурье Запишем формулу (4) в виде Если f(x) есть четная функция, то и мы получим упрощенную формулу интеграла Фурье, содержащую лишь косинусы: Аналогично в случае нечетной функции f(x) мы приходим к формуле, содержащей лишь синусы: называется обратным синус-преобразованием Фурье. В примере 1 и 2 установите формулу, считая параметр a положительным. ПРИМЕР 1. Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет интеграл Фурье, который содержит только косинусы. Здесь роль функции, являющейся прямым косинуспреобразованием, играет функция Как следует из пункта 1.3., в этом виде представимы четные функции. Убедимся, что к четной функции можно применить теорему о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 1 представлен график этой функции. Очевидно, что функция является абсолютно интегрируемой и кусочно-гладкой: функция претерпевает конечное число разрывов; на каждом из промежутков она непрерывно дифференцируема; в точках разрыва x = ±a существуют конечные пределы: также существуют и конечны пределы, похожие на левую и правую производные: Рис. 1. График функции f(x) В силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять интеграл , а вычислим интеграл Так как функция, заданная соотношением (9), является четной, то, подставив в формулу (7) выражение f(x), получим Это доказывает, что интеграл совпадает с функцией f(x), заданной уравнением (9). На рис. 2 представлен график косинус-преобразования Фурье a(y) функции f(x). жүктеу/скачать 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|