Риман беті-бұл математикалық объект, кешенді талдауда дәстүрлі түрде бір өлшемді күрделі сараланатын коллектордың атауы. Риман беттерінің мысалдары-күрделі жазықтық және Риман сферасы
жүктеу/скачать 124,01 Kb.
|
Риман беті
- Бұл бет үшін навигация:
- Бернхард Риман
- Риман бетінің модульдері
|
Риман беті-бұл математикалық объект, кешенді талдауда дәстүрлі түрде бір өлшемді күрделі сараланатын коллектордың атауы.Риман беттерінің мысалдары-күрделі жазықтық және Риман сферасы. Риманның беті күрделі айнымалының көп мәнді функцияларын геометриялық түрде көрсетуге мүмкіндік береді, оның әр нүктесі көп мәнді функцияның бір мәніне сәйкес келеді, ал беткейде үздіксіз қозғалу кезінде функция да үздіксіз өзгереді Мұндай беттерді Бернхард Риман (1826-1866) жүйелі түрде зерттей бастады. Феликс Клейннің пікірінше, Риман бетінің идеясы Галуаға да тиесілі: өлім жазасында ол өзінің жетістіктері арасында"функциялардың түсініксіздігі" туралы кейбір зерттеулерді айтады Риман бетінің модульдері-бұл Риман бетінің эквиваленттілігінің конформды класын сипаттайтын барлық конформды эквивалентті Риман беттері үшін бірдей Сандық сипаттамалар (параметрлер). Мысалы P1 = U0 ∪ U1, U0 = C, U1 = (C \ 0) ∪ ∞, z0 = z, z1 = 1/z M : F(z, w) = 0 D аймағында D ⊂ -қа тең, F голоморфты, dF 0-ға тең емес. Ашық жиында M ∩{F’w 6ǂ 0} Z / M функциясы жергілікті координат болып табылады және бұл жиын карталармен қамтылған (Uj, z). Сол сияқты, M ∩{F’z 6ǂ 0} карталармен қамтылған (Vi w) және өтпелі функциялар голоморфты, өйткені(F'zdz + F'w dw)| M = 0. Голоморфты функциялар, fэ O(M), -бұл функциялар, жергілікті координаттарға қатысты голоморфты, яғни f ◦ z −1 j ∈ O(zj (Uj ) ⊂ C) ∀j. Мероморфты функциялар f ∈ µ(M) жергілікті координаттар арқылы да анықталады, бұл f = hj/gj , hj , gj ∈ O(Uj ), gj 6≡ 0 тең емес, ∀j. F : M → N Риман беттерінің картасы голоморфты деп аталады, егер ол кескін мен прототиптегі барлық (голоморфты) карталарға қатысты голоморфты болса, яғни wν ◦ f ◦ zj ∈ O, o бұл анықталған. ⇒ М-дегі голоморфты функциялар-F : M → C голоморфты карталар, ал мероморфты функциялар – F : m → P1 Риман сферасына голоморфты карталар. Аргумент принципі: Кешенді талдауда аргумент принципі (немесе Коши принципі, аргумент принципі ) мероморфтық функциядағы нөлдер мен полюстер саны арасындағы айырмашылықты функцияның логарифмдік туындысының контурлық интегралымен байланыстырады . Нақтырақ айтсақ, егер f (z) - Бұл с-тің ішіндегі және кейбір тұйық тізбегіндегі мероморфты функция, ал f-де С-да нөлдер мен полюстер болмаса, онда Z және P сәйкесінше C контурындағы нөлдер мен F (z) полюстерінің санын білдіреді,әр нөл мен полюс сәйкесінше оның еселігі мен реті бойынша бірнеше рет есептеледі. Теореманың бұл тұжырымы c контуры қарапайым, яғни өздігінен қиылыспайтын және сағат тіліне қарсы бағытталған деп болжайды. Жалпы алғанда, f (z) күрделі жазықтықтағы Ω ашық жиынындағы мероморфты функция және C барлық нөлдер мен F полюстерінен аулақ болатын және Ω ішіндегі нүктеге дейін тартылатын Ω - дегі тұйық қисық деп есептейік. Әрбір нүкте үшін z ∈ Ω N (C, z) айналу саны болсын c айналасында-z. Онда: мұндағы бірінші жиынтық олардың еселіктерін ескере отырып, А-дан F-ға дейінгі барлық нөлдер бойынша, ал екінші жиынтық полюстер бойынша және А-дан олардың ретін ескере отырып жүргізіледі. Аргумент принципін дәлелдеу: С нөлге тең болсын (F) біз осылай жаза аламыз F (Z) = (Z - Z, z) G (Z), мұндағы k - нөлдің еселігі, және осылайша G (Z, z)тең емес-0,аламыз {\f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)} Және Бастап g(z Z) 天 0, демек, бұл g '(z) / g(z) , С сингулярлықтары жоқ, сондықтан аналитикалық болып табылады ,С, бұл қалдық дегенді білдіреді F ' (z) / F (z) С тең бойынша. Және Оларды біріктіру арқылы f функциясының k еселігінің әрбір Z z нөлі F ' (z) / f (z) үшін k қалдығымен қарапайым полюс жасайды, ал f функциясының m ретті z p әрбір полюсі-m шегерімімен f '(z) / f (z) үшін қарапайым полюс жасайды. (мұнда қарапайым полюс арқылы біз бірінші ретті полюсті түсінеміз.) Сонымен қатар, f ' (z) / f (z) басқа полюстері жоқ, сондықтан басқа шегерімдер жоқ екенін көрсетуге болады. Шегерімдер теоремасы бойынша бізде C-ге қатысты интеграл 2πi мен шегерімдердің қосындысының көбейтіндісі болып табылады.Бірге, әрбір Z z нөлі үшін K қосындысы нөлдердің еселіктерін санайтын нөлдер санын, сондай-ақ полюстерді білдіреді, сондықтан біз өз нәтижемізді алдық. жүктеу/скачать 124,01 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|