Саналымсыз жиын және оның қуаты. Саналымсыз жиын Континуум с қуатты жиын. Саналымсыз жиын
жүктеу/скачать 448,21 Kb.
|
накты талдау
|
Билет №6 Саналымсыз жиын және оның қуаты. Саналымсыз жиын - Континуум С қуатты жиын. Саналымсыз жиын - [0;1] сегменті саналымсыз жиын. Ақырсыз жиындардың ішінде саналымды жиыннан қуаттылығы асатын жиындар бар. Ондай жиындар саналымсыз жиындар деп аталады. Саналымсыз жиындар бар екені келесі теоремадан шығады. 1-теорема. (Г.Кантор) [0,1] = {x: 0 ≤ x ≤ 1} кесіндісінен барлық нүктелерінің жиыны - саналымсыз жиын. Дәлелдеуі. Кері ұйғарып [0,1] кесіндісінің барлық нүктелерінің жиыны саналымды жиын дейік. Олай болса оның барлық элементтерін нөмерлеп тізбегі түрінде жазуға болады. [0,1] kесіндісін тең үшке бөлейік, сонда [0, 1/3],[1/3, 2/3] және [2/3, 1] кесінділерінің ең болмаса бірінде жоқ. Сол кесіндіні таңбасымен белгілейік. Сонымен . Енді осы кесіндісін тап да тең үш бөлікке бөлсек, пайда болған үш кесіндінің ең болмаса бірінде жоқ. Бұл кесіндіні арқылы белгілейік. Сонда Осы тәсілмен біріне бірі еніп жатқан кесінділер тізбегін табамыз. Бұл кесінділерді таңдап алуымыз бойынша ∉ кесіндінің ұзындығы Мұндай біріне бірі іштесе жатқан кесінділер тізбегінің бәріне ортақ бір нүктесі бар болатындығы анализден белгілі лемма: Демек бұл нүкте тізбегіндегі нүктелер арасында жоқ, себебі олардың қайсысы болса да кесінділерінің барлығы бірдей ене алмайды. Сонымен, [0,1] кесіндісінің барлық нүктелерін бір тізбек түрінде жазуға болады деген ұйғарым дұрыс болмады, себебі ол тізбекте [0,1] кесіндісінің нүктесі жоқ болды. Осы қайшылық теорема тұжырымы дұрыс екенін дәлелдейді. Осы теореманың салдарынан шығатын бірнеше қорытындыларды атап өтейік. [0,1] kесіндісіндегі рационал сандардың жиыны саналымды екені белгілі. Егер иррационал сандардың жиыны да саналымды болса , ондa [0,1] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны да саналымды болар еді. Дәлелденген теорема бойынша бұл – саналымсыз жиын. Олай болса, 1. Иррационал сандар жиыны саналымсыз жиын, басқаша айтқанда, иррационал сандар жиынының қуаттылығы саналымды жиыннан басым болғаны. Алгебралық сандар жиыны рационал сандар жиынын қамтитын саналымды жиын екені белгілі. Алгебралық емес сандар трансцендент сандар деп аталады. Дәлелденген теоремадан. 2. Трансцендент сандар бар және олардың жиыны саналымсыз жиын деген қорытынды шығады. Трансцендент сандардың бар екендігі мардымсыз қорытынды емес. Трансцендент сандардың көпшілікке белгілі мысалдары және е сандары. Олардың танцендент екендігін дәлелдеу кезінде ұзақ уақыт елеулі күш салу арқылы ғана мүмкін болды. Сонымен қатар, трансцендент сандар жиыны иррационал сандардың саналымсыз ішжиыны екендігі 1-теорема салдарынан айқын болды. Ақырсыз жиындардың арасында қуаттылығы саналымды жиындардан астам жиындар бар екендігі айқындалғаннан кейін, жиын қуаттылығын сипаттайтын тағы бір анықтама береміз. Анықтама. [0,1] кесіндісіне пара-пар жиынды қуаттылғы континуум жиын деп атаймыз. Жоғарыда қарастырылып, пара-парлықтарды дәлелденген жиындарды еске ала отырып, мына пара-парлықтар тізбегін жазайық: (a,b) ~ [a,b] ~ [0,1] ~ ( ) = R. Осыдан кез келген интервал, кесінді, сондай ақ барлық нақты сандар жиыны – қуаттылығы континуум жиындар екендігі айқындалады. 2-теорема. Қуаттылығы континуум А жиынына ақырлы, немесе саналымды В жиынын қосқаннан, немесе алғаннан оның қуаттылығы өзгермейді, яғни А В ~ А, А\В ~ А Дәлелдеуі. Саналымсыз А жиынының кез келген саналымды ішжиыннан С әріпімен белгілейік. Егер Е = А\С онда А = Е С ал А В = Е С В. В мен С жиындарының біріншісі теорема шарты бойынша, екіншісі өзіміздің алуымыз бойынша саналымды жиындар. Олардың біріктіруі С В саналымды жиын, демек ол В жиынына пара-пар. Екі теңдіктің оң жағындағы жиындар пара-пар болғаны, себебі Е ~ Е С ~ С В Сондықтан сол теңдіктердің сол жағындағы жиындар да пара-пар, яғни А В ~ А Енді екінші тұжырымды дәлелдеу үшін А\В = Е деп белгілейік, Сонда А = Е В, ал Е Жиынына саналымды В жиынын қосқаннан Е жиынының қуаттылғы өзгермейтін дәлелденді. Олай болса Е ~ Е В = А. Салдар. Иррационал сандар жиыныны да, трансцендент сандар жиыны да – қуаттылығы континуум жиындар. Шынында да бұл екі жиын нақты сандар жиынынан саналымды жиындарды алу нәтижесінде шығатын жиындар. 3-теорема. О мен 1 сандарынан түзілген тізбектердің бәрінің жиыны – қуаттылығы континуум жиын. Дәләлдеуі. Қарастырылып отырған әрбір δ1, δ2, .. δк. ... тізбегіне [0,1] кесіндісінің екілік жүйеде жазылған х = 0, δ1, δ2, .. δк. ... санын сәйкес қояйық. Бұл сәйкестік тек екілік рационал сандар үшін өзара бірмәнді (биекция) болмайды, себебі әрбір екілік рационал х санына (2), (3) теңдіктері бойынша екі тізбек сәйкес келеді. Бірақ бұл сандар, демек, оларға сәйкес қойылатын тізбектер жиыны – саналыМДЫ жиындар. Оларды есептен шығарып тастағанда қалған тізбектер жиыны екілік иррационал сандар жиынына пара-пар. 2-теорема бойынша саналымды жиынды алып тастағаннан кейін [0,1] кесіндісінде қалған бұл жиынның қуаттылығы бастапқы жиынның қуаттылығындай, яғни континуум. Теорема дәләлденді. 4-теорема. Натурал сандардың өспелі тізбектерінің жиыны — қуаттылығы континуум жиын. Дәлелдеуі. Шарт бойынша, берілген {kі} натурал сандар тізбегінде K1< k2<... < kі<... Осы тізбекке О мен 1 сандарынан тұратын δ1, δ2, .. δк.... тізбегін сәйкес қою үшін мынадай шартқа сүйенеміз: егер δк -ның нөмірі к тізбектегi k1 , k2, ... сандарының біріне тең болса, онда δк =1, ал басқа нөмірлер үшін δк = 0. Керісінше, δ1, δ2, .. δк... тізбегіне осындағы бірге тең сандардың нөмірлерінен тұратын натурал сандар тізбегі сәйкес болмақ. Осылай анықталған сәйкестік биекция болғандықтан, өспелі натурал тізбектер жиыны мен 1 сандарынан тұратын жиынына пара-пар, демек, 3-теорема бойынша континуум ЖИЫН. Теорема дәлелденді. 5-теорема. Натурал сандардан түзілген тізбектерінің бәрінің жиыны – қуаттылығы континуум жиын. Дәлелдеуі. Кезкелген n1, n2,..., nm, ... натурал сандар тізбегіне (кі) Сәйкес қоямыз. Мұндағы kі сандары k = n1 + n2 +...+ nі теңдігімен анықталады. Бұл тендіктен {kі} — натурал сандардын өспелі тізбегі - берілген тізбек арқылы бірмәнді анықталады. Демек бұл екі жиынның қуаттылығы бірдей, атап айтқанда, 4-теорема бойынша – бұлардың қуаттылығыконтинуум жиындар екендігі дәләлденді. 6-теорема. Нақты сандардан түзілген тізбектерінің бәрінің жиыны – қуаттылығы континуум жиын. Дәлелдеуі. {aі} – кезкелген нақты сандар тізбегі болсын. 5-теорема бойынша нақты сандар жиыны мен натурал сандар тізбектерінің жиыны пара-пар, яғни әрбір нақты санға биекция арқылы натурал сандардың білгілі бір тізбегін сәйкес қоюға болады. Осыны пайдаланып, берілген тізбектегі әрбір аз санына натурал сандар тізбегін сәйкес қоямыз: a1 ↔ n11, n12,..., n1m, ..... а2 ↔ n21, n22,..., n2m, .... ак ↔ nк1, nк2,..., nкm, ... ............................................ (1) Бұл сәйкестіктердің оң жағында жазылған элементтерді бұрын қолданған әдіспен (мысалы, диагоналдарды бойлап теріп) бір жолға жазуға болады. Сонда, { а1, а2, ... , ак, ... } ↔ { n11 n12, n 21, n 13, n 22, ... } (2) яғни, нақты сандар тізбегіне натурал сандар тізбегі сәйкес қойылды. Керісінше, егер натурал сандар тізбегі берілсе, онда оларды (2) сәйкестігіндегі натурал сандардың индекстеріне сай орналастырып, матрица түрінде жазамыз. Сонан кейін, (1) биекциясын пайдаланып, нақты сандар тізбегін анықтаймыз. 5-теорема бойынша натурал сандар тізбектер қуаттылығы континуум жиын құрайды, демек оған пара- пар өарастырылып отырған жиынымыздың да қвттылығы континуум екендігі дәлелденді. 7- теорема. Кез келген [a,b] кесіндісінде берілген Барлық үздіксіз функциялардың жиыны С [a,b] – қуаттылығы континуум жиын. Дәлелдеуі. Үздіксіз функция рационал нүктелердегі мәндерімен толық анықталады. Шынында да, осы функцияның тек қана рационал нүктелердегі мәндері берілген болсын. Ал, функциялардың рационал нүктелердегі мәндері саналымды жиын құрайды. Демек, оларды нақты сандардың тізбегі ретінде қарастыруға болады. Сонымен, 6- теорема бойынша барлық мұндай тізбектер жиыны континуум қуатты, демек, оған пара- пар үздіксіз функциялар жиыны да қуаттылығы континуум жиын екендігі дәлелденді. жүктеу/скачать 448,21 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|