Ашық және тұйық жиындардың құрылымы Ашық жиын деп атайды, егер оның барлық нүктелері ішкі нүктелер болса.
Ал бұл жерден ішкі нүкте дегенге анықтама бере кетсек, нүктесі G жиынының ішкі нүктесі,егер осы нүктені қамтитын бар болса,ол толығымен G жиынында қамтылған:
Кез келген интервал – ашық жиын
Z – барлық нақты сандар жиыны ашық
Бос жиын – ашық жиын
сегменті ашық жиын емес,өйткені оның ұштары ішкі нүктелер емес.
1-теорема. Кез келген ашық жиындардың қосындысы ашық жиын болады.
2-теорема.Ашық жиындардың шекті санының қиылысы-ашық
3-теорема.Егер G жиыны ашық болса,онда оның толықтауышы CG - жабық.
4-теорема.Егер F жиыны жабық,онда CF толықтауышы ашық.
Анықтама. G – ашық жиын болсын.Егер , онда - құраушы интервал деп аталады.
1-теорема.Егер G бос емес,шектелген ашық жиын болса,онда оның әрбір нүктесі белгілі бір құраушы интервалда жатады.
2-теорема.Егер G-ашық жиынының құраушы интервалдары болса,онда олар беттеседі,немесе қиылыспайды.
Тұйық жиын деп атайды,егер өзінің барлық шектік нүктелерінен тұрса.Ал бұл жерден Шектік нүкте дегенге анықтама берсек:
Ал жиынның шектік нүктелер жиыны-туынды жиынды береді.
1-теорема.Бос емес,шектелген,тұйық F жиыны сегмент болады немесе осы сегменттен ақырлы немесе саналымды өзара беттеспейтін,шеткі нүктелері осы жиынды жатпайтын интервалдарды алып тастағанға тең болады.
2-теорема. F-бос емес,шектелген,тұйық. S= F жиыны жататын ең кіші сегмент болсын, онда:
Құраушы интервалдары-ң шеткі нүктесі болатын нүктесі F жиыны-ң оқшауланған нүктесі деп аталады.
a немесе b нүктесі F-тің толықтырушы интервалдары-ң шеткі нүктелері болса,онда F-тің оқшауланған нүктесі болады.
3-теорема.Тұйық жиынның ақырлы қосындысы тұйық жиын.
4-теорема.Тұйық жиындардың кез келген қиылысуы тұйық жиын болады.
