Скаляр көбейтіндісі

жүктеу/скачать 1,59 Mb.

бет	1/3
Дата	15.12.2022
өлшемі	1,59 Mb.
	#162886

1 2 3

Байланысты:
ответы с 14 -25 теория

Скаляр көбейтіндінің қасиеттері
Теорема 1

Билет №19
Вектоларды скаляр көбейту.
Анықтама: a және b векторларының (a, b) скаляр көбейтіндісі деп a_x· b_x+ a_y· b_y саның атаймыз: (a, b) = a_x · b_x+a_y · b_y
Мысалы a = {1, 3}, b = {4, 2} болса, онда (a, b) = 1·4+3·2 = 4+6 = 10.
Скаляр көбейтіндінің қасиеттері:
1). (a, b) = (b, a)
2). (a, a) = |a|²
3). (a+b, c) = (a, c) + (b, c)
4). (a –b, c) = (a, c) -(b, c)
5). (k ·a, b) = (a, k ·b)=k ·(a, b)
Геометриялық векторлардың V3 кеңістігіндегі екі вектордың скаляр көбейтіндісі олардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш арқылы анықталады:
(a, b) = | a | | b | cos(a, b).
Билет №18
Ішкеңістіктің ортогональ толықтауышы. Евклид кеңістіктері.
Анықтама. Егер a векторы M жиынының кез келген векторына ортогональ болса,
онда a векторы M жиынына ортогональ деп аталады және оны a  M деп белгілейді.
Анықтама. M жиынының ортогональ толықтауышы деп M жиынына барлық
ортогональ векторларының жиыны аталады және M деп белгіленеді:
M= {a V | a M}
Теорема 1. Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі бар векторлық V кеңістігінің кез келген
ішжиынының ортогональ толықтауышы V кеңістігінің ішкеңістігі болады.
Теорема 2. (Ортогональ толықтауыштың қасиеттері). Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі
бар векторлық V кеңістігінің U және W ішкеңістіктері берілсін. Онда
1. V = U U.
2. (U)= U.
3. dim V = dim U + dim U.
4. Егер U W болса, онда W U.
5. (U + W) = UW .
6. (U W) = U+ W .
Билет №20
Сызықтық операторлар. Сызықтық оператордың берілген базистегі матрицасы.
Анықтама. Векторлық V кеңістігінің өзіне сызықтық бейнелеуі V кеңістігінің сызықтық операторы деп аталады. V кеңістігінің сызықтық операторлар жиыны End(V) деп белгіленеді.
Кез келген векторлық V кеңістігінің кем дегенде екі түрлі сызықтық операторы болады:
Тепе-теңдік (бірлік) оператор кез келген векторға өзін сәйкес қояды: (a) = a.
Нөлдік оператор кез келген векторға нөлдік векторды сәйкес қояды: ( a) = 0 .
Осы екі оператор мардымсыз операторлар, басқа операторлар мардымды операторлар
деп аталады.
F өрісіндегі V векторлық кеңістігі және скаляры берілсін. Онда : V V, (a) =
a ережесімен берілген сәйкестік сызықтық оператор болады, ол коэффициенті болатын гомотетия операторы деп аталады. Егер = 0 болса, онда ол нөлдік (a) = 0 операторы болады. Егер = 1 болса, онда ол тепе-теңдік оператор болады: (a) = a.
[a, b] кесіндідегі ақырсыз рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялардың C[a, b] кеңістігін қарайық. Кез келген f функциясына d сәйкестігі туындысын сәйкес қой-
сын: d(f) = f. Қосындысының туындысы туындылардың қосындысына тең және (f)’ = (f’). Сондықтан осы сәйкестік сызықтық оператор болады, ол дифференциалдау операторы деп аталады.

Билет №21
1. Сызықтық оператордың әртүрлі базистердегі матрицаларының арасындағы
байланыс.
Теорема 1. Векторлық V кеңістігінің φ сызықтық операторының (ескі) e1, e2,..., en
және (жаңа) e1, e2,..., enбазистеріндегі матрицалары Aφ және Aφжәне ескі базистен жаңа базиске көшу матрицасы Т болсын. Онда Aφ= T–1AφТ.

Сызықтық оператордың ядросы және бейнесі.
Анықтама. Векторлық V кеңістігінің сызықтық операторының ядросы деп нөлдік вектордың түпбейнелерінің жиыны аталады және Ker деп бегіленеді:
Ker = { a V | (a) = 0}.
Бейнелердің жиыны оператордың бейнесі деп аталады және Im деп белгіленеді:
Im = {(a) | a V}.

Билет №22
1. Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері.
Матрицаларды көбейту.
F өрісіндегі m n-матрица берілсін

мұндағы m – жолдардың, n – бағандардың саны.
Қысқаша матрица A = ( ij ) деп белгіленеді.
Егер m = n болса, А матрицасы n-ретті квадрат матрица деп аталады.
Егер бір матрицаның жолдарының саны және бағандарының саны сәйкесінше екінші матрицаның жолдарының санына және бағандарының санына тең болса, онда матрицалардың өлшемдігі тең деп есептеледі.
F өрісіндегі m n-матрицалардың жиыны Mm,n(F) деп және n-ретті квадрат матрицалардың жиыны Mn(F) деп белгіленеді.
А матрицасының жолдары және бағандары

деп белгіленеді.
Егер өлшемдігі тең A = (ik) және B = (ik) матрицаларына кез келген i және k
индекстері үшін ik = ik болса, онда матрицалар тең деп есептеледі.
Өлшемдігі тең екі матрицаны қосу үшін сәйкес элементтерді қосу керек: (i, k)-
орнындағы элемент ik + ik болады, яғни А + В = (ik + ik).
Барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады және деп белгіленеді.
Матрицаны λ скалярына көбейту үшін оның барлық элементтерін λ-ға көбейту керек:
λА = (λik).

жүктеу/скачать 1,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3