Вариант №1 н айти область определения функции и изобразить её на плоскости: Для заданной функции область определяется следующими неравенствами:, и или. Первое неравенство определяет область, расположенную выше прямой
жүктеу/скачать 0,69 Mb.
|
1 2
Байланысты:ФНПВар1
|
Вариант № 1 Н айти область определения функции и изобразить её на плоскости: . Для заданной функции область определяется следующими неравенствами: , и или . Первое неравенство определяет область, расположенную выше прямой . Второе неравенство определяет область, расположенную ниже линии параболы . Таким образом, областью определения функции является область, заключённая между прямой и параболой , включая её границы (см. рисунок). Ответ: . Вычислить частные производные и сложной функции в данной точке: при . Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам и . В данном случае . Следовательно, , . Заметим, что в точке промежуточные переменные равны: . Подставляя в частные производные , получим: , . Ответ: , . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: . Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке имеют следующие уравнения: а) (касательная плоскость): б) (нормаль). В данном случае . Найдём частные производные от в точке : . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали: , . Или , . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: . Н айти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: . (Ошибка в условии, область не закрыта. Закроем её дополнительным ограничением ). Найдём стационарные точки в области D: . Решая систему , получим стационарную точку , котораяне находится в области D. На границе области D функция имеет вид . Тогда , Стационарная точка не принадлежит области D. На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . Находим значение функции в угловых точках области D: . Сравнивая все значения , видим, что наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение - в точке . Ответ: наибольшее значение функции в точке , наименьшее значение - в точке . Изменить порядок интегрирования: . В осстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: , . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения парабол и : . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на вертикальную. Из рисунка видим, что данная область является y – трапецией. На нижней границе , на верхней границе . Поэтому и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл: . Ответ: . Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: . Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная двумя параболами с общей вершиной в точке и прямой . Снизу тело ограничено плоскостью , сверху – плоскостью (см. рисунки). Таким образом, . Ответ: . Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: . Э то параболоид вращения с вершиной в точке , расположенный над координатной плоскостью ХОУ и ограниченный сверху плоскостью . Спроектируем линию пересечения этой плоскости с параболоидом на плоскость ХОУ: . Таким образом, тело задано в области D, которая является окружностью . В каждой точке окружности переменная z изменяется от до . Стедовательно, . Ответ: . Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: . В оронка с внешним радиусом, равным 7, и внутренним радиусом, равным 1, разрезана плоскостями и . Тело представляет часть воронки, заключённой между этими плоскостями. Снизу воронка ограничена конической поверхностью , сверху – конической поверхностью . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет , а на плоскости будет или . Уравнение малого конуса переходит в уравнение , а большого конуса – в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: . Н айти массу пластинки: Пластинка занимает область D, изображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда . Ответ: . Найти массу тела: . Тело представляет часть цилиндра, ограниченную изнутри конической поверхностью. Коническая поверхность пересекается с цилиндрической поверхностью на высоте (см. рмсунок). Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или . R Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: . П D реобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . В полярных координатах якобиан преобразования равен . Следовательно, . Ответ: . Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности : . М ассу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где . Следовательно, . Ответ: . Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: . Работу вычисляем по формуле: . Линия представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке , расположенную в п лоскости . Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра t, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда . Ответ: Работа равна . Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : . Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке: . Следовательно, . Найдём координаты вектора , где : . Таким образом, . Найдём единичный вектор нормали : . Так как координаты x и y вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: . Ответ: Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М: . Наибольшую скорость характеризует градиент поля: . Вычислим координаты градиента: , , . Таким образом, . Величина скорости есть модуль градиегнта: . Ответ: Наибольбшая скорость изменения поля в заданной точке равна . Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : . По заданному скалярному полю построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем: . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка: . Для поля градиентов : . Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля : . Из первого равенства следует или . Из второго равенства получим . Исключим отсюда , пользуясь первым полученным интегралом: . Или . Итак, уравнения векторных линийполя градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей: . Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: . Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): . З апишем уравнение плоскости в отрезках: или и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда . жүктеу/скачать 0,69 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2