§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом АВ. Если точки А и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределённым).
Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.
Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:
х = ОМ.
Точка О называется началом координат; её собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.
Если M1 (x1) и М2(x2) — две произвольные точки прямой а, то формула
M1 M2 = x2 – x1
выражает величину отрезка формула M1 M2 выражает его длину.
|M1M2 | = | x2 – x1 |
1. Построить точки:
А(3), B(5), С(—1), D(), E(—), F() и H(—).
2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям
1) |x| = 2; 2) |x—1| = 3; 3) |1— x|=2; 4) | 2+x| = 2.
3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) |x| >2; 2) х — 30; 3) 12— x<0; 4) 2x—30;
5) 3x—5>0; 6) 1<x<3; 7) — 2x3; 8) >0;
9) >1; 10) <0; 11) <1;
12) x2 — 8x+150; 13) x2 — 8x+15>0;
14) x2 + x—12>0; 15) x2+x— 120.
4. Определить величину АВ и длину | АВ | отрезка, заданного точками: 1) А(3) и В(11); 2) А (5) и В (2); 3) А (—1) и В (3); 4) А (—5) и В (—3);
5) А (— 1) и В (—3); 6) А (— 7) и В (—5).
5. Вычислить координату точки Л, если известны:
1) В (3) и АВ = 5; 2) В (2) и АВ = — 3; 3) В (—1) и ВА = 2;
4) В (—5) и ВА = —3; 5) В(0) и |АВ| = 2; 6) В (2) и | АВ | = 3;
7) В(— 1) и | АВ |==5; 8) В(—5) и | АВ| = 2.
6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:
1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x|3; 5) х — 2|<3;
6) |x — 5|l; 7) х— 1|2; 8) |x—3=1; 9) |x+1|<3;
10) |x+2|>1; 11) x+5|l; 12) |x+1|2.
7. Определить отношение , в котором точка С делит
отрезок АВ при следующих данных:
1) А(2); В(6) и С(4); 2) А (2), В (4) и С(7);
3) А (—1), В (5) и С(3); 4) А (1), В (13) и С(5);
5) А (5), В (—2) и С(—5).
8. Даны три точки А (—7), В (—1) и С(1). Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9. Определить отношение , в котором данная точка
Достарыңызбен бөлісу: |
