§ Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной си­стемы должно быть сказано, какие поворо­ты вокруг точки О считаются положитель­ными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Черт. 2.

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) на­зываются числа = ОМ и  =  АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется пер­вой координатой, или полярным радиусом, число  — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют

также амплитудой) *).

Символ М (; ) обозначает, что точка М имеет полярные координа­ты  и .

Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличаю­щихся друг от друга на величину вида ± 2n, где п — целое положительное чи­сло). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам —  <  < + , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том напра­влении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элемен­тарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных слу­чаях часто делается и дальше

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х =  cos ,

у =  sin .

В этом же случае формулы

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).

заданным в полярной системе координат.

заданным в полярной системе координат.

параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого парал­лелограмма

31. В полярной системе координат даны точки