1. 2 Математикалық модельдеу пәнаралық байланысттарды жүзеге асыру құралы
жүктеу/скачать 4,03 Mb.
|
Диссертация Бергенбек Қазына
|
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі – дифференциалдық теңдеу теориясын толығынан түсінуге, игеруге қажетті білімділік пен машықтықты бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ғылым мен техниканың дамуына сай дифференциалдық теңдеулер теориясының өрбуінің бағыттаушы идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жүмыс ретінде қарастыруға болады. Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша. Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда салқын, қызықсыз ғылым сияқты көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың математикаға деген ынтасын арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді. Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай отыра, өз бетінше білім жинақтауға құштар ету оқыту үрдісінің барлық кезеңін жандандыруға әкеліп соғады. Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін оның теориясы мен әдістерін, көршілес пәндердің негізгі заңының, теориялық пайымдауларын қисынды - теориялық және практикалық бағытта түсіне отырып пайдалану керек. Дүниетанымдық көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер теориясының маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін, алгоритмдерін механиктер, биологтар, экономистер және басқа да ғылым саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер пәні теориялық маңыздылығымен бірге қолданбалы математика саласына да жатады және ол жаратылыстану ғылымы мен техниканың көптеген мәселелерін зерттейді. Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан факультатив сабақтарында қолдануға болады. Өйткені механиканың, астрономияның, физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің көптеген мәселелері дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін табуға тіреледі. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, инженер-техникалық, химия-биологиялық, ақпараттық есептеу, физика және де басқа саладағы есептерді шығару барысында орнығатын біліктілік пен әрекет тәсілдері негізінде пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі түсіну, алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар қүру, жоспарды орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп жүргізу, алған нәтижені зерттеп-сұрыптау, есептің жауабын тауып дәл тұжырым жасау үрдісі әртүрлі пәндерге сай өз өзгешіліктері болғанымен, ортақ қисынға, заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты жандандыра түседі. Дифференциалдық теңдеулер курсы оқушылардың белгілі бір математикалық мәдениетін қалыптастырады және олардың ғылыми, әсіресе математиканың практикалық және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор. Пәндердің интеграциясы яғни пәнаралық байланысы – ғылымаралық байланыстың дидактикалық эквиваленті ретінде білінеді және пәндер мазмұнында табиғатта әсер ететін диалектикалық өзара байланысты көрсете отырып, жаратылыстану білімдер жүйесін қалыптастырудың қажетті шарты болып табылады. Пәндер білімдерін интеграциялау арқылы пәнаралық байланысты жүзеге асыру теориясымен көптеген зерттеушілер айналысқан. Жалпы білімдер және политехникалық білімдер арасындағы байланыстарды пайдалану мүмкіндіктері зерттелді. Пәнаралық байланысты оқу қызметінің белсенділігін арттыру тұрғысынан Б.Г.Ананьев, одан кейін мұны В.Н.Федорова жете зерттеді. Осы кезең жұмыстарында жеке пәндер өзара байланыстарының проблемасын қоюға және шешуге ұмтылатын дидактикалық себептер ашылды. Екі қарама-қарсы тенденциялар – білімдерді дифференциялау және интеграциялаудың өзара байланысты жағдайында өтетін ғылым дамуының диалектикасын білім берудің мазмұны мен құрылымында қамтып көрсету арқылы оны жетілдіру дәуірі де оларға жатады. Оқушыларға механика есептерін шығару кезінде бір есептің түрліше шығару варианттарын қарастыру мүмкін және жөн деп есептейміз. Бұл кезде бір есепті бірнеше тәсілмен шығару жолдарын – тек қана түрліше тәсілдер ғана емес, түрліше математикалық аппараттарды пайдалану: мысалы, кинематикадан есепті бірде синус және косинустың екі еселік бұрыш формуласын, екінші жағдайда доғал бұрыштың тригонометриялық функциясын пайдалана отырып, жүзеге асыруға болады (мұның әрқайсысы өз ерекшелігі бар). Сол есепті тіпті басқа шешім – оны векторлық теңдіктің геометриялық түсініктерін пайдалану арқылы да шығаруға болады, координаттық тәсілді де пайдалануды зерттеп қарастырдық. Білім беру мазмұнын интеграциялау проблемасы дүние жүзі елдері педагогтарының назарын өзіне аударуда. Пәндер білімдерін интеграциялау бағытын шетел педагогикасы қазіргі ғылым дамуының деңгейіне сай келетін прогресшіл бағыт деп есептейді. Мысалы, АҚШ университеттеріне пәнаралық жалпыланып қорытындыланған курстар өткізіледі, педагогикалық институттарында тар мамандықтардан бас тартып, мамандарды дайындау кезінде интеграцияланған пәндерді кең түрде пайдалану жүзеге асып отыр. Франция университеттерінде ЖОО құрамы өзгеріп, факультеттерден бас тартып, жалпы білім беретін және жалпы техникалық пәндердің жалпыланып қорытындыланған білімдер негізінде көп салалы мамандар дайындау кең түрде таралып отыр. Физика мен техниканың көптеген есептерінің шешуі мынадай дифференциалдық теңдеуді
қанағаттандыратындай функцияларын табуды тілейтін математикалық есептерге келіп саяды, мұндағы k - қандай да бір константа. Көрсеткіштік функциясының туындысы формуласын біле отырып, (1) теңдеудің шешімі
түріндегі кез келген функция болатын байқау қиын емес, мұндағы С-тұрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан (1) дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз көп болады. (1) теңдеудің (2) түріндегі функциялардан өзге, басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол үшін (1) теңдеуді қанағаттаныдарын кез келген fфункциясын және көмекші
функциясын қарастырамыз. g функциясының туындысын табамыз: 
kf(x)-тің орнына (1) теңдеуден  -ті қойып, мынаны шығарып аламыз:
g функциясының туындысы нөлге тең болғандықтан, барлық x үшін g(x)=C болады. (3)-тен мынау шығады:  (4)
бұдан Ескерту. Жоғарыда келтірілген талқылауларда біз f функциясы бүкіл сандық түзуде анықталған және (1) теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (1) теңдеуді тек қандай да бір аралықта ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді. Әрине, ондай жағдайда (2) формуладан жалпы шешімді (1) теңдеу орындалатындай аралықта ғана табатынымыз түсінікті. (2) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау – функцияның х нүктесіндегі өзгеру жылдамдығы сол функцияның осы нүктедегі мәніне пропорционал. Бұл теңдеу практикалық есептерді шешкенде жиі кездеседі. Осы бағытта енді негізгі е-саны болатын 1 мысал. Радийдің ыдырау жылдамдығы туралы есеп. Радийдің ыдырау жылдамдығы ыдырамаған радий көлеміне пропорционал. Үдеріс барысында радий көлемі (t=0) x0 -ге тең болатын. 1600 жыл ішінде алғашқы көлемнің жартысының ыдырайтыны белгілі.
Қанша жылдан кейін ыдырамаған радий көлемі бастапқы 80% құрайтын болады? Радийдың 300 жылдан кейін қанша пайызы сақталатынын анықтау. Шешуі. (5) туынды нақты С-ны анықтайық. Мысал барысындағы бастапқы кезі t=0-ге, радий көлемі x0 -ге тең екені мәлім болатын. Сол секілді, бастапқы шарт x(0)=x0. (5) t=0; x=x0қоя отырып 
содан (5)  (10)
болып қайта жазылады. Бұл мысал x пропорционал коэффициенті анықтауға мүмкіндігі бар шарттарға ие: сонда t=1600, радий көлемі х бастапқы  жартысына тең болады. Оны (10)  немесе 1600-t орнына қоя отырып,  -ды аламыз.  -ге қысқартып,  -ды аламыз. –ны анықтауға, е негізі барысында оның екі жақты теңдеуінде логарифмдейміз:
Енді (10) мысал шешімі 
немесе
 (11)
болып қайта жазылады. Мысалдың 1-ші сұрағына жауап берейік.  (80%) негізінде соңғы теңдеуге қоя отырып,
ие боламыз. t-ны анықтау үшін екі жақты теңдеуді прологарифмдейік  ,
содан
 жыл.
Мысалдың 2-ші сұрағына жауап беру үшін (11)-ден 
Осы арқылы 300 жылдан кейін радийдің бастапқы 2 мысал. Шешуі: Алдымен интегралдық қисықтар тобын қарастырамыз. Содан кейін жүктеу/скачать 4,03 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
(1)
(3)
дәлелдегіміз келгені де осы болатын.
функциясын физика мен, техниканың және де көптеген басқа да ғылымдардың есептерін шешуге қолданылатынына мысалдар қарастырайық.
-ге қатынасын табамыз:
көлемі сақталып, сәйкесінше 300 жыл кейінде 12,2%-ті ыдырайды.
нүктесінен өтетін кез-келген жанама ox осін қиятын кесіндінің ұзындығы жанама жүргізілетін нүктенің абциссасының квадратына тең болатындай қисықтарды табу керек.
нүктеден өтетін қисықты бөліп аламыз.